数学理卷·2018届河北省张家口市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省张家口市高二上学期期末考试（2017-01）

张家口市2016～2017学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学(理科)‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.曲线在点（1,1）处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）‎ A．1 B． C． D．2 ‎ ‎4.在空间直角坐标系中三点的坐标分别为，，若,则=（ ）‎ A． 3 B．1 C. 3 D．-3‎ ‎5.执行图中程序框图，若输入则输出的值为（ ）‎ A．3 B．4 C. D．5‎ ‎6.如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在正方体中分别为和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A．0 B． C. D．‎ ‎8.在平面直角坐标系中,已知定点,直线与直线的斜率之积为-2,则动点的轨迹方程为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9.任取,直线与圆相交于两点,则的概率为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10.执行如图所示的程序框图,若输出的值为0.99,则判断框内可填入的条件是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 如图动直线与抛物线交于点，与椭圆 交于抛物线右侧的点，为抛物线的焦点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，则函数的各极大值之和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ．‎ ‎14.若命题“，使得”为真命题，则实数的范围为 ．‎ ‎15.定义在上的连续函数 满足 ，且在上的导函数，则不等式的解集为 ．‎ ‎16.如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知椭圆：的离心率为，且经过点(1, ),,是椭圆的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)点在椭圆上运动，求的最大值 ‎18. （本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）,一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)求直方图中的值；‎ ‎(Ⅱ)若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；‎ ‎(Ⅲ）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值（精确到0.01），并说明理由.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图四棱锥中，四边形为平行四边形，为等边三角形，是以为直角的等腰直角三角形，且.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米）.按计划容积72立方米，且，‎ 假设其建造费用仅与其表面积有关（圆柱底部不计）．已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元．设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系，并求其定义域；‎ ‎（Ⅱ）求建造费用最小时的．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知⊙的圆心为，⊙的圆心为，一动圆内切，与圆外切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设分别为曲线与轴的左右两个交点，过点（1,0）的直线与曲线交于两点.若，求直线的方程.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，，证明.‎ 张家口市2016～2017学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共12个小题,每小题5分,共60分 ‎1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D ‎ 二、填空题: 本大题共4小题，每题5分，满分20分 ‎13. 18 14. 或 15. 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎17. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，得解得 所以椭圆的方程是 ‎.………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由均值定理.‎ 又，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为4.………………………………………………………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1， ‎ 频率=（频率/组距）*组距，‎ 解得,，…………………………………………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由图，不低于3吨的人数所占比例为，‎ 全市月均用水量不低于3吨的人数为（万），…………………………………………7分 ‎（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为…………………………………………………………………9分 即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故.‎ 假设月均用水量平均分布，则（吨）…………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设为的中点，连接与，则，.设，则，，‎ 所以，故平面平面…………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，设的方向为轴正方向. 为单位长，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,则 ‎,所以 ‎.……………………………………………………………………………8分 设是平面的法向量，则即 所以可取，…………………………………………………………………………………9分 设是平面的法向量，则同理可取，……………………………10分 则，所以二面角的余弦值为……………………………………12分 ‎20. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）由容积为立方米，得，‎ 解得，………………………………………………………………………………………………4分 又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域，……………………………………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ），………………………………………………………………8分 又，所以，所以建造费用，在定义域上单调递减，所以当时建造费用最小.………………………………………………………………………………………………12分 ‎21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆的半径为，则，两式相加，得 ‎，由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，其方程 ‎……………………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，则 ‎.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立消去，得.则有，……………………………………………………………………6分 ‎…………………………………………………………………………………………………10分 由已知，得，解得.‎ 故直线的方程为.……………………………………………………………………………12分 ‎22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）……………………………2分 ‎，当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………………………………………4分 ‎ （Ⅱ），，不妨设，又由（Ⅰ）可知，.‎ ‎，又函数在上单调递减，所以等价于，‎ 即………………………………………………………………………………………6分 又，而.‎ 所以.……………………………………………………8分 设，则.………………………………………………10分 当时，而，故当时，.而恒成立，所以当时，，故.……………………………………12分