皖江名校第四次大联考理科数学参考答案

皖江名校第四次大联考理科数学参考答案

第 1 页 共 5 页 数学参考答案（理科） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C A B A D B A C A D D 1.【解析】根据复数模的性质. 4 3 5| | | | 512 5 iz i    。 2.【解析】集合 ( 2,1)B  ，所以 { 2,1,2}UAB（ ） ，有 3 个元素。 3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于 0，反过来不成立。 4.【解析】 3927 =3.14161250 ， 355 =3.141592113 ， 22 =3.1428577 ， 9.8684=3.14140096 ，故选 B。 5.【解析】 (1) 1 ( ( 1) 1)ff     ，所以 ( 1) 3f    。 6.【解析】 11=1n nka n k n k  ，由 k 是正数及反比例函数的单调性知50k且 60k，故选 D。 7.【解析】 12 11 10 9 8 95040sum       ，判断框在 12,11,10,9,8i  都满足条件， 7i  不满足，故选 B 8.【解析】 ( ) 1 ( ) 322ff   ， ，故选 A。 9.【解析】球心是 AC 的中点， 2 5R ， 6 125 8 125 3 4 3 4 3   RV ，选 C 10.【解析】设 1910a b x xab      ，于是 1 9 9(10 ) ( )( ) 10 10 2 9 16abx x a b a b b a          所以 2 10 +16 0 2 8x x x     ，所以 ab 的最小值是 2 （当 13,22ab时取得） 11.【解析】设点 0 0 1( , )Px x ，切线 l 方程为 2 00 12yxxx   ，所以 0 0 2(2 ,0), (0, )A x B x ，点 是 AB 中点，S2AOB  ,命题（1）（ 2）都正确。过原点作倾斜角等于15 和 75 的 2 条射线与曲线的交点为 ,MN,由对称性知 OMN 是等边三角形,命题（3） 正确。过原点作 2 条夹角等于 45 的射线与曲线的交点为 ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到 45 的过 程中， OM ON 的值从 + 变化到 0 ,在这个过程中必然存在 的值为 2 和 2 2 的时刻,此时 是等腰直 角三角形,命题（4）正确. 12.【解析】解 1： 222| | 2 13 2a b a b a b a b      ，由题设 =( ) 1 | || | 1=| | 1a b a b c a b c a b       ， 所以 22221 | | 2 13 2a b a b a b a b a b       （ ） ，得 2 12ab （ ） ，所以 2 3 2 3ab   ， 因此，| | = 13 2 13 4 3 =2 3 1a b a b     ，易见等号可以取得，故选 D。 解 2：由题设 ( ) ( ) 0a c b c   ，在矩形 ABCD 中， 3, 2, 1PA PB PC   ,根据矩形性质 第 2 页 共 5 页 2 2 2 2PA PB PC PD   ,可得 23PD  ,所以| | | | | | 2 3 1a b AB CD     ，当 P 点在CD 上等号成立。 13.【答案】 7 25 【解析】  ，  为 锐角 243sin 1 55     ， 234sin( ) 1 55           224 3 7sin sin sin cos cos sin 5 5 25                                14.【答案】 7 30 【解析】由题设奇函数 ()fx关于点（ 1,0）对称，所以函数是周期函数，且最小正周期 2T  ， 所以 10 3 2 1 2 1 1 1 7( ) ( ) ( ) ( )3 10 3 10 3 10 3 10 30f f f f            。 15.【答案】 51 2  【解析】设正方体棱长为 1，易知截面 ACEK 是等腰梯形，延长两腰相交于 F 点， 设 1KB x ，可得 1 1 1 1,,11 xKB B E x B F BFxx    ，三棱台 1ABC KB E 的体积 221 1 1 1(1 1 ) (1 )6 1 1 6 3 xV x x xxx         ，所以 2 5110 2x x x      ， 所以 1 5 1 3 51 22AK    , 1 1 3 5 2 5 1= 2251 AK KB   （也可以由黄金分割性质直接得到） 解析 2.由三棱台体积公式计算也行。设法同解析 1，三棱台上底面积是 21 2 x ，下底面积为 1 2 ，高等于1 ， 所以 221 1 1 1 1 1( ) 13 2 2 2 2 3V x x      ，解得 51 2x  。后同解法 1. 16.【答案】 3 【解析】 211sin sin 222S AB AC A AB A   ，所以 2241,sin sinAB ADAA, 根据余弦定理 2 2 2 2 5 4cos2 cos (5 4cos ) sin ABD AB AD AB AD A A AD A       所以 24sin 4cos 16 sin( ) 5BD A A BD A      ，可得 4 16 5BD ，解得 3BD  。 17.【解析】（1）由题设 1n  时， 22 11( 1)n n n n na S S n a n a     ，所以 1 1 1nn naan    ………………2 分 累乘或者迭代可得 1 1 2 3 1 2=1 1 3 ( 1)n n n naan n n n n          ， …………………………………………4 分 当 1n  时也符合，所以 2 22 ( 1) 1n nSnn n n  。 ………………………………………………………6 分 （2） 2 1 12( )! ( 1) ! ! ( 1)! n n S nb n n n n n   ， 所以 1 1 1 1 1 12[(1 ) ( ) ( )] 2(1 ) 22! 2! 3! ! ( 1)! ( 1)!nT n n n          ……………………………………8 分 注意到 0,na  所以 1 1nTT，因此12nT。 ……………………………………………………10 分 第 3 页 共 5 页 18.【解析】（1）连接 BD ，由题设 1 1 1 1/ / ,BB DD BB DD , 所以四边形 11BB D D 是平行四边形，所以 11//BD B D . 由题设，四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AD 中点 E ,连接 ,BE CE , 因为 2, / /BC DE BC DE ,所以四边形 BCDE 是平行四边形， 2BE CD,所以 AE DE BE,得到 2ABD ,因此 AB BD . 又由题设， 11BB ABC BB BD  平面 ,又 1AB BB B 所以 11BD ABB A 平面 ,又 （已证） 所以 1 1 1 1B D ABB A 平面 ，而 1 1 1 1 1B D B C D 平面 ,因此 1 1 1 1 1B C D ABB A平面 平面 。 ……………………6 分 （2）以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标 1 1 1 1(0,0,0), ( 3,1,0), ( 3,3,0), (0,4,0), (0,0,4), ( 3,1,2), ( 3,3,1), (0,4,2),A B C D A B C D ……………………8 分 所以 1 (0,2, 2)BC, 11 (0,2, 1),BC  11 ( 3,3,0)BD  ,设平面 1 1 1B C D 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 11 11 20 n 3 3 0 n B C y z B D x y         ，令 1 2, 3y z x    ， ( 3,1,2)n  …………………………………10 分 所以直线 1BC和平面 1 1 1B C D 所成角的正弦值 1 0 2 4 1sin | cos , | | | 488 n B C       .……………………12 分 19.【解析】（1）根据正弦定理 2 2 2sin sin 2 2cossin sin a A B a c bBb B B ac     所以 2 2 2 2()a c b a c b   ，整理得 22a b bc。 …………………………………………………………4 分 （2）由（1）得 226 4 4 5cc    ，根据角平分线定理 CA CB AD BD ,可得 2, 3AD BD;……………6 分 设 CD x ，由 ADC BDC     ,得 224 16 9 36cos cos 046 xxADC BDC xx          ，……………10 分 解得 32x  ，所以角平分线CD 的长等于32。 ………………………………………………………12 分 说明：第（1）小题用相似三角形证明给分，第（2）题也可以用面积比得到，过程正确均给满分。 20.【解析】（1）令 2( 1) 2( 1)( ) ( ) 11 xxh x f x lnxxx    ， 2 2 ( 1)( ) 0( 1) xhx xx    ， ………………2 分 故 ()hx在 1x  时是增函数， ( ) (1)h x h 0 ，即 2( 1) 1 xlnx x   ； ………………………………4 分 （2）不妨设 1 21 2 ,1xxx x则 ，由题设 1 1 2 2ln ,lnx kx x kx，所以 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln lnx x x xk x x x x ， 由（1）的结论 1 1 2 1 2 12 12 1 2 2 2( 1) 2( )ln ln ln 1 x x x x xxx xx x x x       ，…………………………………………………8 分 第 4 页 共 5 页 所以 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2( )ln +ln (ln lnx ) ln 2x x x x x x xx x xx x x x x x x            ，因此 2 12x x e ……………………12 分 21.【解析】（1）由题意，侧面 PAB 是等腰直角三角形， 3 2 2 2PB PM， 作 //MN BC 交 PC 于 N ,连接 DN .因为 22 332 PM MN MN PB BC   , 所以 2MN  ,又 / / , / / , 2MN BC AD BC AD  ,所以 / / ,MN AD MN AD且 , 四边形 AMND 是平行四边形， //AM DN ，又 DN PCD 平面 ,所以 //AM PCD平面 。………………4 分 （2）由 PA ABCD 底面 ，可得 ,PA AB PA AD,又 AB AD ,所以 ,,AB AD AP 两两互相垂直， 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标如下： (0,0,0), (3,3,0), (0,2,0), (0,0,3), (2,0,1)A C D P M …………………………………6 分 所以 (2,0,1), (3,3,0)AM AC，设平面 AMC 的法向量为 ( , , )m x y z ， 则 20 3 3 0 m AM x z m AC x y          ，令 1, 1, 2x y z    得 ，所以 (1, 1, 2)m    ； …8 分 向量 (3,3, 3), (0,2, 3),PD PC    设平面 PCD 的法向量为 1 1 1( , , )n x y z ， 则 1 1 1 11 3 3 3 0 2 3 0 m AM x y z m AC y z           ，令 1 3y  得 112, 1zx   ，所以 ( 1,3,2)n  …………………………10 分 设平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角为 ，则 1 3 4 4cos 21216 14      所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值等于 4 2121 。……………………………………12 分 22.【解析】（1）记 11( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)22 xh x f x g x e x x x       ，则 (0) 0h  ； 求导得 ' 1 1 1 1 3( ) 1 [ln( 1) ] ln( 1)2 1 2 2( 1) 2 xxh x e x x e xxx          ，且 ' (0) 0h  ；…………………2 分 再求导 2 1 1 1''( ) ( )21( 1) xh x e x x    ， …………………………………………………………………4 分 注意 0x  时， 1,xe  且 2 1 1 1( ) 121( 1)x x  ， 所以 ''( ) 0hx ，因此 '( ) '(0) 0h x h，函数 ()hx在 (0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0h x h 所以 1( ) ( )2f x g x 在 恒成立，等号当且仅当 0x  时成立。 ……………………………………6 分 （2）当 时， ( ) ln( 1) 0g x x x   ，所以 1 2k  时， 1( ) ( ) ( )2f x g x k g x恒成立。 下面证明当 1 2k  时， ( ) ( )f x k g x 不能在 恒成立。 记 ( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)xp x f x k g x e x k x x       ， (0) 0p  ， '( ) e 1 [ln( 1) ]1 x xp x k x x      ， ' (0) 0p  第 5 页 共 5 页 再求导 2 11''( ) e [ ]1 ( 1) xp x k x x    ，，当 1 2k  且 0x  时， ''( )px单调递增， ''(0) 1 2 0pk   ， 令 ln2 0xk则 2 11''(ln 2 ) 2 [ ] 2 2 0ln 2 1 (ln 2 1)p k k k k kk k       ， 所以在 (0,ln 2 )k 上存在 0x ，使得 0''( ) 0px  ，因为 单调递增，所以在区间 0(0, )x 上 ''( ) 0px ， 因此 '( )px在区间 上单调递减， ''( ) (0) 0p x p，所以 ()px 在区间 上单调递减， ( ) (0) 0p x p，即 ( ) ( )f x k g x 区间 上不成立，所以 时不合题意。 综上所述，当 时， 恒成立，实数 k 的取值范围是 1( , ]2 。…………………………12 分