数学卷·2018届陕西省安康二中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届陕西省安康二中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年陕西省安康二中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎4．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎5．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎7．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎9．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（　　）‎ A．63 B．108 C．75 D．83‎ ‎11．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（　　）‎ A．5 B．6 C．8 D．7‎ ‎12．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，对一切自然数n，都有=，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A=　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　　．‎ ‎15．不等式＞1的解集是　　．‎ ‎16．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）已知等差数列{an}中，已知a2=3，a1+a5=10．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式an．‎ ‎（2）求数列{an}前n项和sn．‎ ‎18．（12分）已知等比数列{an}中，已知a1+a3=5，a2+a4=10．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式an．‎ ‎（2）求数列{an}前n项和sn．‎ ‎19．（12分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0‎ ‎（2）解关于x的不等式：x2+（1﹣a）x﹣a＜0．‎ ‎20．（12分）（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b ‎（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．‎ ‎21．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎22．（10分）已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn﹣1．‎ ‎1）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎2）若cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省安康二中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，由此能求出a51．‎ ‎【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，‎ ‎∴数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴a51=2×51﹣1=101．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查数列中第51项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC===．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先将x+y乘以+展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，‎ ‎∴x+y=（）（x+y）=5+≥5+2=9‎ 当且仅当即x=3，y=6时，取等号．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，要注意：一正、二定、三相等，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于 x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，‎ 故函数的最小值是4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．‎ ‎　‎ ‎5．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等比数列 ‎∴=a1qn﹣1=×==‎ 解得：n=5‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题．‎ ‎　‎ ‎6．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，‎ ‎∴a＜0，‎ 且△=b2﹣4ac＜0，‎ 综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+‎ z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得： =，‎ 即sinB==，‎ 则B=arcsin或π﹣arcsin，‎ 即此三角形解的情况是两解．‎ 故选B ‎【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4‎ 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）‎ 由余弦定理可得， =‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎10．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（　　）‎ A．63 B．108 C．75 D．83‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．‎ 则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，‎ ‎∴第三个n项的和为： =3，‎ ‎∴前3n项的和为60+3=63．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．‎ ‎　‎ ‎11．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（　　）‎ A．5 B．6 C．8 D．7‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，代入log3b1+log3b2+…+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{bn}为等比数列 ‎∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，‎ ‎∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3（b1b14b2b13…b7•b8）=log337=7‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质和对数的运算性质，等比中项的性质．若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则aman=apaq．是一个基础题，‎ ‎　‎ ‎12．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，对一切自然数n，都有=，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵S9==9a5，Tn==9b5，‎ ‎∴a5=S9，b5=T9，‎ 又当n=9时， ==，‎ 则===．‎ 故选B ‎【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A=　或　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】△ABC中，由余弦定理求得a的值，再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得b2==a2+8﹣4a•cos45°，求得a=2+，或a=2﹣．‎ 当a=2+，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=+=．‎ 当a=2﹣，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=﹣=，‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　an=2n﹣3　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），‎ 解得：a=0．‎ ‎∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．‎ 则a1=﹣1，d=2．‎ ‎∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．‎ 故答案为：an=2n﹣3．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．不等式＞1的解集是　{x|﹣2＜x＜﹣}　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根据商为负数得到x+2与3x+1异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式，‎ 移项得：＞0，‎ 即＜0，‎ 可化为：或，‎ 解得：﹣2＜x＜﹣或无解，‎ 则原不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．‎ 故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣}‎ ‎【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的基础题．学生做题时注意在不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．‎ ‎　‎ ‎16．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=　﹣14　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，‎ ‎∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，‎ 由韦达定理可得，‎ 解得a=﹣12，b=﹣2，‎ ‎∴a+b=﹣14．‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解集，注意和二次方程的根的关系是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）（2016秋•陕西期中）已知等差数列{an}中，已知a2=3，a1+a5=10．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式an．‎ ‎（2）求数列{an}前n项和sn．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}通项公式an．‎ ‎（2）利用首项和公差，能求出数列{an}前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a2=3，a1+a5=10．‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=2，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎（2）∵a1=1，d=2，‎ ‎∴Sn==n2．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•陕西期中）已知等比数列{an}中，已知a1+a3=5，a2+a4=10．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式an．‎ ‎（2）求数列{an}前n项和sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得方程，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）运用等比数列的求和公式，计算即可得到所求．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，‎ 则a1+a3=5，a2+a4=10，‎ 即为a1+a1q2=5，a1q+a1q3=10，‎ 解得a1=1，q=2，‎ 则数列{an}通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）数列{an}前n项和sn==2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•陕西期中）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0‎ ‎（2）解关于x的不等式：x2+（1﹣a）x﹣a＜0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）对一元二次不等式进行解答即可；‎ ‎（2）对a与﹣1的大小关系分类讨论即可得出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）不等式﹣x2+4x+5＜0可化为x2﹣4x﹣5＞0，‎ 即（x﹣5）（x+1）＞0，‎ 解得x＜﹣1或x＞5，‎ 所以原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}；‎ ‎（2）不等式x2+（1﹣a）x﹣a＜0可化为（x+1）（x﹣a）＜0，‎ ‎①当a=﹣1时，不等式为（x+1）2＜0，此时不等式的解集为∅；‎ ‎②当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜a}；‎ ‎③当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣a＜x＜﹣1}．‎ 综上，a=﹣1时不等式的解集为∅；‎ a＞﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜a}；‎ a＜﹣1时，不等式的解集为{x|a＜x＜﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了分类讨论思想以及一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•陕西期中）（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b ‎（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理即可求出b的值；‎ ‎（2）利用三角形内角和求出C的值，再由正弦定理求出c的值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°，‎ 由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB ‎=32+22﹣2×3×2×cos60°‎ ‎=7，‎ ‎∴b=；‎ ‎（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，‎ ‎∴C=75°，‎ ‎∴sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=；‎ 又a=2，‎ 由正弦定理得=，‎ ‎∴c=×sin75°=×=+．‎ ‎【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形内角和定理与三角恒等变换问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016春•南充期末）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，‎ ‎∴cos（B+C）=，‎ 又∵0＜B+C＜π，‎ ‎∴B+C=，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴A=； ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，‎ 得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，‎ 把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，‎ 整理得：bc=4，‎ 则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•芙蓉区校级模拟）已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn﹣1．‎ ‎1）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎2）若cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出an=2n﹣1（n∈N*）；由Sn=2bn﹣1‎ ‎，能推导出{bn}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出（n∈N*）．‎ ‎（2）由，利用错位相减法能求出{cn}的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．‎ ‎∴，解得 ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）‎ 在{bn}中，∵Sn=2bn﹣1‎ 当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1‎ 当n≥2时，由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1，‎ 得bn=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1‎ ‎∴{bn}是首项为1公比为2的等比数列 ‎∴（n∈N*）‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴①②‎ ‎①﹣②得 ‎ ‎=‎ ‎=1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n ‎∴（n∈N*）‎ ‎【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．‎ ‎　‎