2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

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2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题,的否定为 A., B.,‎ C., D.,‎ ‎2.焦点为,,长轴长为10的椭圆的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎3.已知点M(4,t)在抛物线上,则点M到焦点的距离为 A.5 B.6 C.4 D.8‎ ‎4.若平面中,,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知函数,若在上随机取一个实数,则的概率为 A. B. C. D.‎ ‎6.在平面内,已知两定点间的距离为2,动点满足.若,则的面积为 A. B. C. D.‎ ‎7.已知直三棱柱中,,,,则与平面所成角的正弦值为 A. ‎ B. C. D.‎ ‎8.已知点分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线上异于的另外一点,且是顶角为的等腰三角形,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎9.设,若,,,则下列关系式中正 确的是 A. B. C. D.‎ ‎10.若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知点,,在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎12.对于任意的实数,总存在三个不同的实数,使得成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、 填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为___________.‎ ‎14.的展开式中,的系数是 .‎ ‎15.已知圆锥的高为3,侧面积为,若此圆锥内有一个体积为的球,则的最大值为 .‎ ‎16.设是双曲线:的一个焦点,若上存在点,使线段的中点恰为其虚轴的一个端点,则的离心率为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本大题满分10分)已知命题函数在区间单调递增,命题函数定义域为,若命题“且”为假,“或”为真,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本大题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设,,三棱锥的体积,求到平面的距离.‎ ‎19.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点,在第一象限内曲线上任取一点,求四边形面积的最大值.‎ ‎20.一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况,随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况,如下表:‎ 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”,网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.‎ ‎(1)确定的值,并补全频率分布直方图;‎ ‎(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数;若平均数和中位数至少有一个不低于2千元,则该网店当日被评为“皇冠店”,试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.‎ ‎21.(本小题满分12分)如图,椭圆的离心率是,点在短轴上,且.‎ ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)当时,证明对于任意的成立.‎ 一、选择题 ‎1-5:DBABD 6-10:BADCA 11-12:BA 二.填空题 ‎13. 14. 16 15. 16.‎ 三.解答题 ‎17.命题为真时:;‎ 命题为真时:即,‎ 因为命题“”为假,“”为真,所以或,‎ 即,或,解得或.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎18.(1)证明:设与的交点为,连接.‎ 因为为矩形,所以为的中点,又为的中点,所以.‎ 又因为平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)解:.由,可得.‎ 作交于.由题设知,,且,所以平面,‎ 又平面,所以,又,做平面.‎ ‎∵平面,∴,在中,由勾股定理可得,‎ 所以,所以到平面的距离为.‎ ‎19解:(Ⅰ)由题可变形为,‎ ‎∵,,∴,∴.‎ ‎(Ⅱ)由已知有,,设,.‎ 于是由 ‎ ‎ ‎ ,‎ 由得,于是,‎ ‎∴四边形最大值.‎ ‎20.(1)由题意,得 化简,得,‎ 解得 ‎∴‎ 补全的频率分布直方图如图所示:‎ ‎(2)设这60名网友的网购金额的平均数为,‎ 则(千元)‎ 又∵,,‎ ‎∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8(千元)‎ ‎∵平均数,中位数,‎ ‎∴根据估算判断,该网店当日不能被评为“皇冠店”.‎ ‎21解:(1)由已知,点的坐标分别为,.又点的坐标为,且,‎ 于是,,,解得,.所以椭圆方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,的坐标分别为,.联立,得.其判别式,所以,.从而,.‎ 所以,当时,.此时,为定值.‎ 当直线斜率不存在时,直线即为直线,此时,‎ 故存在常数,使得为定值-3.‎ ‎22.(Ⅰ)的定义域为;‎ ‎.‎ 当, 时,,单调递增;‎ ‎,单调递减.‎ 当时,.‎ ‎(1),,‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ ‎(2)时,,在内,,单调递增;‎ ‎(3)时,,‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减.‎ 综上所述,‎ 当时,函数在内单调递增,在内单调递减;‎ 当时,在内单调递增,在内单调递减,在 内单调递增;‎ 当时,在内单调递增;‎ 当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,‎ ‎,,‎ 令,.‎ 则,‎ 由可得,当且仅当时取得等号.‎ 又,‎ 设,则在单调递减,‎
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