2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题，的否定为 A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎2.焦点为，，长轴长为10的椭圆的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎3．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为 A．5 B．6 C．4 D．8‎ ‎4．若平面中，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为 A． B． C． D．‎ ‎6．在平面内，已知两定点间的距离为2，动点满足.若，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎7.已知直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为 A． ‎ B． C. D．‎ ‎8.已知点分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于的另外一点，且是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为 A． B． C. D．‎ ‎9.设，若，，，则下列关系式中正 确的是 A． B． C． D．‎ ‎10.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是 A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________．‎ ‎14.的展开式中，的系数是 ．‎ ‎15.已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为 ．‎ ‎16.设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本大题满分10分）已知命题函数在区间单调递增，命题函数定义域为，若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎19.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.‎ ‎20．一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：‎ 若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.‎ ‎（1）确定的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明对于任意的成立.‎ 一、选择题 ‎1-5:DBABD 6-10:BADCA 11-12:BA 二．填空题 ‎13. 14. 16 15. 16.‎ 三．解答题 ‎17.命题为真时：；‎ 命题为真时：即，‎ 因为命题“”为假，“”为真，所以或，‎ 即，或，解得或.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎18.（1）证明：设与的交点为，连接.‎ 因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：.由，可得.‎ 作交于.由题设知，，且，所以平面，‎ 又平面，所以，又，做平面.‎ ‎∵平面，∴，在中，由勾股定理可得，‎ 所以，所以到平面的距离为.‎ ‎19解：（Ⅰ）由题可变形为，‎ ‎∵，，∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）由已知有，，设，.‎ 于是由 ‎ ‎ ‎ ，‎ 由得，于是，‎ ‎∴四边形最大值.‎ ‎20.(1)由题意，得 化简，得，‎ 解得 ‎∴‎ 补全的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）设这60名网友的网购金额的平均数为，‎ 则（千元）‎ 又∵，，‎ ‎∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元）‎ ‎∵平均数，中位数，‎ ‎∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.‎ ‎21解：（1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且，‎ 于是，，，解得，.所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，.联立，得.其判别式，所以，.从而，.‎ 所以，当时，.此时，为定值.‎ 当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，‎ 故存在常数，使得为定值-3.‎ ‎22.（Ⅰ）的定义域为；‎ ‎.‎ 当， 时，，单调递增；‎ ‎，单调递减.‎ 当时，.‎ ‎（1），，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎（2）时，，在内，，单调递增；‎ ‎（3）时，，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 综上所述，‎ 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；‎ 当时，在内单调递增；‎ 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，‎ ‎，，‎ 令，.‎ 则，‎ 由可得，当且仅当时取得等号.‎ 又，‎ 设，则在单调递减，‎