数学（文）卷·2017届湖南省长沙市高三上学期统考（期末）（2017

数学（文）卷·2017届湖南省长沙市高三上学期统考（期末）（2017

湖南省长沙市2017届高三上学期统一模拟考试（期末）‎ 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的实部和虚部分别为（ ）‎ A．3，3 B． -3，3 C．3， D．-3，‎ ‎3．图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎4．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数，则（ ）‎ A．，使得 B． ‎ C． ，使得 D．使得 ‎6．下图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．12‎ ‎7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及解法，其中一个问题为“现在一根据九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）‎ A．升 B．升 C． 升 D．升 ‎8．某同学为实现“给定正整数，求最小的正整数，使得”，设计程序框图如下，则判断框中可填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若，则的最大值与最小值之和是（ ）‎ A．0 B．-2 C． 2 D．6‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．中，，，则的周长为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．、分别是双曲线的左顶点和右焦点，、在双曲线的一条渐近线上的射影分别为、，为坐标原点，与的面积之比为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．等比数列的公比为，则 ．‎ ‎14．空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．某环保人士从当地某年的记录数据中，随机抽取10天的数据，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年大于100的天数约为 ．（该年为365天）‎ ‎15．化简： ．‎ ‎16．矩形中，，，矩形内部一点，且，若，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． （本小题满分12分）‎ 已知数列为等差数列，其中．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．‎ ‎18． （本小题满分12分）‎ 某研究型学习小组调查研究”中学生使用智能手机对学习的影响”．部分统计数据如下表:‎ 参考数据:‎ 参考公式: ，其中 ‎(Ⅰ)试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?‎ ‎(Ⅱ)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为组，计划从组推选的2人和组推选的3人中，随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的两人恰好分别来自、两组的概率．‎ ‎19． （本小题满分12分）‎ 如图，以、、、、为顶点的六面体中，和均为等边三角形，且平面平面，平面，．‎ ‎(Ⅰ)求证: 平面；‎ ‎(Ⅱ)求此六面体的体积．‎ ‎20． （本小题满分12分）‎ 已知的动圆恒与轴相切，设切点为是该圆的直径．‎ ‎（Ⅰ）求点轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）当不在轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在处的切线与直线交于点．求证: 恒为直角三角形．‎ ‎21． （本小题满分12分）‎ 已知函数，为实常数．‎ ‎(Ⅰ)设，当时，求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)当时，直线、与函数、的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．‎ 求证： ．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为（为常数）．‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设点是上到轴距离最小的点，当过点时，求．‎ ‎23． （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知．‎ ‎（Ⅰ)当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ 参考答案及平方标准 一、选择题 ‎1-5: CBACB 6-10: AACCA 11、12：CD 二、填空题 ‎13． 14． 146 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17． 解：（1)设等差数列的公差为，‎ 依题意有， …………3 分 解得，‎ 从而的通项公式为； …………6 分 ‎(2) 因为，‎ 所以 ‎ ‎． …………9 分 令 ，‎ 解得，故取． …………12分 ‎18． 解：(1)根据卡方公式求得，‎ 因为 所以该研究小组有99．5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响． ……4 分 ‎(2)记组推选的两名同学为，组推选的三名同学为，‎ 则从中随机选出两名同学包含如下10个基本事件：‎ ‎…………7 分 记挑选的两人恰好分别来自两组为事件，‎ 则事件包含如下6 个基本事件：‎ ‎ …………9 分 故．‎ 即挑选的两人恰好分别来自两组的概率是．…………12 分 ‎19． 解：(1)作，交于，连结．‎ 因为平面平面，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 从而． …………3 分 因为是边长为2的等边三角形，‎ 所以，‎ 因此，‎ 于是四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 因此平面 ‎． …………6 分 ‎(2) 因为是等边三角形，‎ 所以是中点，‎ 而是等边三角形，‎ 因此，‎ 由平面，知，‎ 从而平面，‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 因此四面体的体积为， …………9 分 四面体的体积为，‎ 而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积 故所求六面体的体积为2 …………12 分 ‎20． 解：(1) 设点坐标为，则点坐标为．‎ 因为是直径，所以，或、均在坐标原点．‎ 因此，而 故有，即， …………3 分 另一方面，设是曲线上一点，‎ 则有，‎ 中点纵坐标为，‎ 故以为直径的圆与 轴相切．‎ 综上可知点轨迹的方程为． …………5分 ‎(2)设直线的方程为，‎ 由得：‎ 设 ，则有． …………8 分 由对求导知，‎ 从而曲线E在P处的切线斜率，‎ 直线的斜率， …………10 分 于是 ．‎ 因此 ．‎ 所以恒为直角三角形． …………12分 ‎21． 解：(1) ，其定义域为 而， ‎ ‎…………2 分 当时，，‎ 故F(x)的单调递增区间为，无单调递减区间． …………4 分 ‎(2)因为直线与平行，‎ 故该四边形为平行四边形等价于且 ．…………6 分 当时，，‎ 则．令 则 ，‎ 故在上单调递增； …………9 分 而，‎ 故时单调递减；时单调递增；‎ 而，‎ 故或0 < n <1< m，‎ 所以． …………12分 ‎22． 解：(1)由知(，‎ 故曲线的直角坐标方程为： ．‎ 将代入知 曲线的直角坐标方程为 …………5 分 ‎(2)曲线是圆心为，半径为1的圆，‎ 故P点坐标为，代入求得 ‎． …………10 分 ‎23． 解：(1)当时，，‎ 故的最小值为2，当且仅当时取到最小值． …………5 分 ‎(2) ，‎ 若不等式的解集非空，‎ 则，即，‎ 因此，‎ 所有的取值范围是． …………10分