高一数学同步辅导教材(第8讲)

高一数学同步辅导教材(第8讲)

= ( ) 1 2 43 1 2 3 3 2 1 1 2 1 2 4 3 高一数学同步辅导教材（第 8 讲） 一、本讲教学进度 2.3 函数的单调性和奇偶性 二、本讲教学内容 1．函数的单调性 2．函数的奇偶性 三、重点、难点选讲 1．函数的单调性 ⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区 间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调 性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性. 函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间． ⑵函数不一定有单调区间，如函数 xxxf  11)( 的定义域为 1 ，显然不存在单调区间. 又如函数      )(1 )(1)( 为无理数 为有理数 x xxf 也不存在单调区间． ⑶判断函数的增减性，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判 断函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上的单调性时，通常设 bxxa  21 ，然后作差式 )()( 21 xfxf  ，将 该差式作适当的变形并判断差式的符号，从而得出结论． 例 1 画出函数 34)( 2  xxxf 的图像，并由图像写出函数 )(xf 的单调区间． 解 0342  xx ， 1x 或 3x ， ∴      ),31(,1)2( ),31(,1)2()( 2 2 xx xxxxf 或 函数 )(xfy  的图像如图 由图像可见，函数 的递增区间为 ]2,1[ 及 ],3[  ，递减区间为  1, 及 ]3,2[ ． 评析 ⑴根据函数的图像观察函数的单调区间是一种直观的方法． ⑵函数 的递增区间不能写成  ,3]2,1[  ． 例 2 画出函数 12  xxy 的图像，并根据图像写出函数的单调区 间． 解        )1(,12 ),12(,3 ),2(,12 xx x xx y 由图像可知，函数的递增区间是 ,1 ，递减区间是 2, . 评析 在区间 1,2 上， 3y .对一切 21 xx  且 ]1,2[, 21 xx ，都有 )()( 21 xfxf  ，因此函数 在区间 ]1,2[ 上既非增函数，也非减函数． 例 3 求证：函数 31)( xxf  在定义域上是减函数. 证 函数 )(xfy  的定义域为 R ，设 21 xx  ，则 ))(()1(1)()( 2 112 2 212 3 1 3 2 3 2 3 121 xxxxxxxxxxxfxf  0]4 3)2 1)[(( 2 1 2 1212  xxxxx ， ∴ 0)()( 21  xfxf 即 )()( 21 xfxf  ， ∴函数 )(xf 在 ),(  上是减函数. 评析 证明函数在某个区间上的单调性通常都是根据函数增减性的定义去证明． 例 4 求证：函数 xxxf 4)(  在区间 ]2,0( 上递减，在区间 ),2[  上递增. 证 设 20 21  xx ，则 21 2121 21 12 21 2 2 1 121 )4)(()(4)(44)()( xx xxxx xx xxxxxxxxxfxf  . ∵ 20 21  xx ∴ 021  xx , 0421 xx , 021 xx , ∴ 0)()( 21  xfxf )()( 21 xfxf  ∴函数 )(xf 在 2,0 上递减 设 212 xx  ，则 21 2121 21 )4)(()()( xx xxxxxfxf  . ∵ 021  xx ， 0421 xx ， 021 xx , ∴ 0)()( 21  xfxf ， )()( 21 xfxf  , ∴函数 )(xf 在 ,2 上递增. 评析 ⑴用定义证明函数的单调性时，常将差 )()( 21 xfxf  变形为若干个代数式的积或商，并由每 一个代数式的符号确定 的符号. ⑵可以证明，当 0a 时，一般地有 x axxf )( 在区间 ],0( a 以及 )0,[ a 上是减函数，在区间 ),[ a 以及 ],( a 上是增函数. 例 5 求函数 228)( xxxFy  的单调区间. 分析 求函数的单调区间之前，先要求出函数的定义域，单调区间必是定义区间的子区间. 解 ∵ 028 2  xx ， 0822  xx ， ∴ 24  x ，函数 )(xF 的定义域为 ]2,4[ . 设 uufy  )( ， 228)( xxxgu  . 二次函数 9)1()( 2  xxgu 的递增区间是 ]1,(  ，递减区间是 ),1[  . ∴函数 )()]([)( xFxgfufy  的单调递增区间是 ]1,4[  ，单调减区间是 ]2,1[ 评析 ⑴对于二次函数等已研究过的函数，可以直接运用其单调性结论. ⑵本题中 uy  ， 228 xxu  ，即 y 是u 的函数，u 是 x 的函数，称 是 的复合函 数，对于复合函数的单调性，其规律如下： 函数 )(xgy  )(ufy  )]([ xgfy  单 调 性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数的奇偶性 ⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知，如果函数 )(xf 是奇函数或偶函数，若 x 在函数定义域内，则 x 也一定在函数的定义域内，因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对 称（简称“定义域关于原点对称”）.由此在判断函数是否具有奇偶性时，首先应检查其定义域是否关于 原点对称. ⑵证明函数的奇偶性，只能根据函数奇偶性的定义，即研究 )( xf  和 )(xf 的关系. ⑶函数 的奇偶性情况有四种可能：① 是奇函数；② 是偶函数；③ 既是奇函数 又是偶函数；④ 既非奇函数又非偶函数. ⑷一个函数是奇函数的充要条件是函数的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是函数 的图像关于 y 轴对称. 函数奇偶性的证明通常根据奇偶性的定义. 例 6 判断函数的奇偶性: ⑴ axxxf  3)( ; ⑵ 11 11)( 2 2   xx xxxf ; ⑶ x xxxf   1 1)1()( ; ⑷        ).0()1( )0(,0 )0(,)1( )( 2 2 xx x xx xf , 解：⑴ ，定义域为 R . ∵ )()()()()( 33 xfaxxxaxxf  , ∴ )(xf 是奇函数. ⑵∵ xxx 12 ∴ 0112  xx ∴ )(xf 的定义域为 R . ∵ 11 11 11 11)()( 2 2 2 2     xx xx xx xxxfxf 0 )11( 22 )11( ])1()1[(])1()1[( 22222 222222      xx xx xx xxxx , ∴ )()( xfxf  ， )(xf 是奇函数. ⑶∵ 01 1   x x ， 01 1   x x ，∴ 11  x ，定义域为 )1,1[ ，关于原点不对称. ∴ )(xf 是非奇非偶函数. ⑷ 的定义域为 R . ∵ )( )0(,)1( )0(,0 )0(,)1( )0(,)1( )0(,0 )0(,)1( )( 2 2 2 2 xf xx x xx xx x xx xf                , ∴ 是偶函数. 评析 ⑴有时也可以由 0)()(  xfxf 或 0)()(  xfxf 判断 )(xf 是奇函数或偶函数. ⑵第⑷小题说明了用定义判断分段函数的奇偶性的方法. 例 7 已知定义在 ),(  上的偶函数 )(xf 在区间 ]0,( 是增函数，求证： 在区间 ),0[  上 是减函数. 分析 对于抽象的函数 )(xf 的增减性，我们仍然只能根据定义，由 210 xx  及题设条件推得 )()( 21 xfxf  ，从而证明 )(xf 在 ),0[  上是减函数. 证 设 ， ∵ )(xf 为偶函数 ， ∴ )()( 11 xfxf  ， )()( 22 xfxf  . ∵ , ∴ 012  xx . ∵ )(xf 在区间 ]0,( 上是增函数 , ∴ )()( 12 xfxf  ， )()( 12 xfxf  , ∴ )(xf 在区间 ),0[  上是减函数. 例 8 已知定义在 R 上的函数 )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数，且 1 1)()( 2  xxxgxf ，求函 数 )(xf 的解析式. 分析 利函数奇偶性的定义再构建一个关于 和 的方程，即可求得 . 解 1 1)()( 2  xxxgxf ①， 1 1)()( 2  xxxgxf . ∵ 为奇函数， )()( xfxf  ， )(xg 为偶函数， )()( xgxg  ， ∴ 1 1)()( 2  xxxgxf . ② ①-②： ,1 2 )1( 2 1 1 1 1)(2 2422222  xx x xx x xxxxxf 1)( 24  xx xxf . 例 9 求证：函数 1)1()(  kxkxf 不可能既是奇函数又是偶函数. 分析 这类“不可能”的问题通常采用反证法证明. 证 )(xf 的定义域为 R . 假设 为奇函数,则 )()( xfxf  对一切 Rx 成立, ∴ .1],1)1[(1)(1  kkxkkxk ）（ 假设 为偶函数，则对一切 ， )()( xfxf  . ∴ .1)1(1)(1  kxkkxk ）（ 令 1x ，得 1k ， 与 1k 矛盾， ∴ 函数 不可能既是奇函数又是偶函数. 练 习 一、选择题 1．如果偶函数 )(xf 在区间 ,0 上是增函数，那么 在区间 0, 上（ ） A．是减函数 B．是增函数 C．可能是减函数，也可能是增函数 D．不一定具有单调性 2．对于奇函数 )(xf ，必有 （ ） A． 0)()(  xfxf B． 0)()(  xfxf C． 0)()(  xfxf D． 0)()(  xfxf 3．函数 122  mxxy 在区间  ,1 上是增函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 1m B． 1m C． 1m D． 1m 4．函数 322  xxy 递增区间是（ ） A．  ,1 B． 1, C． ,1 D． 3, 5．函数      )0(2 ),0(2)( xx xxxf （ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 6．已知函数 )(xfy  在区间 2,0 上是减函数，且 )2(  xfy 是偶函数，则下 列不等式中正确的是 （ ） A． )2 1()2 3()3( fff  B． )2 1()3()2 3( fff  C． )3()2 3()2 1( fff  D． )3()2 1()2 3( fff  二、填空题 7．已知函数 1)3()23()32()( 2232  mxmxmmxmmxf ， 当 m 时是奇函数，当 m 时是偶函数. 8．有三个命题：①若 是奇函数，则必有 0)0( f ；②偶函数的图像必与 y 轴相 交；③若函数 )(xfy  既是奇函数又是偶函数，则 )(0)( Rxxf  ，其中假 命题是 。 9．已知定义在 R 上的函数 是偶函数，且在区间 0, 上是减函数，则 )4 3(f )1( 2  aaf . 10．定义在 R 上的奇函数 ，当 0x 时 13)(  xxf ，则 的解析式为 = . 三、解答题 11．已知定义在 1,1 上的奇函数 是减函数，且 0)1()1( 2  tftf ，求实数t 的取值 范围. 12．判断并证明下列函数的奇偶性： （1） 11)(  xxxf ； （2） 1)( 2   x xxxf ； （3） xxxf  11)( ； (4) 1)( 2 24   x xxxf . 13．若 0a ，求证： x axxf )( 在区间 a , 上逆增，在区间 0,a 上 递减. 14．已知 ),(1)( 2 Nbabx axxf  ，且 2)2 1()2(  ff .求 )(xf 的解析式. 答案与提示 [答案] 一、 1．A 2．D 3．D 4．C 5．D 6．B 二、 7．-1。-3 8．①，②，③ 9．≤ 10．       ).0(13 ),0(0 ),0(13 xx x xx 三、 11． 10  t 12．(1)奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数； （4）偶函数. 14． xxxf 1)(  [提示] 一、4.由 0322  xx ，定义域为    ,13,  5． 0)0( f 6．由 )2(  xfy 是偶函数，即 )(xfy  的图像向左平移 2 个单位后关于 y 轴对 称，因此 的图像关于直线 2x 对称. 二、8.①、②， 0x 不一定在函数定义域内，③的定义域不一定是 R 9． )4 3()4 3( ff  ， 4 3 4 3)2 1(1 22  aaa 三、11. )1()1()1( 22  tftftf . 由       ,11 ,111 ,111 2 2 tt t t       .12 ,20 ,20 2 t t t .10  t 12．（ 2）     ,11, x ；（ 3）  1x . 13．设 axx  21 ， 2 2 1 121 )()( x axx axxfxf  )().()(.0))(()()( 21 21 2121 21 12 21 xfxfxfxx axxxx xx xxaxx  在区间 a , 上递增.设 021  xxa ， )(),()(,0))(()()( 21 21 2121 21 xfxfxfxx axxxxxfxf  在区间 0,a 上递减. 14． .2 4 2 1 14 1 )2 1(,2 14)2( b a b a fb af    .1,414  aaa .4 50,22 5)2(  bbf 又 .11)(,1, 2 xxx xxfbNb 