2017-2018学年山西省忻州二中高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年山西省忻州二中高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 山西省忻州二中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．函数y=x2cosx的导数为 A． y′=2xcosx－x2sinx B． y′=2xcosx+x2sinx C． y′=x2cosx－2xsinx D． y′=xcosx－x2sinx ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： .故A正确.‎ 考点：导数公式.‎ ‎2．下列表述正确的是（ ）‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.‎ A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：归纳推理是由部分到整体的推理，‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 故①③⑤是正确的 考点：归纳推理；演绎推理的意义 ‎3．= ( )‎ A． 5 B． 4 C． 3 D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义计算 ‎【详解】‎ ‎=（x2﹣4x）|=25﹣20=5，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 题主要考查了定积分的简单应用，解题的关键是求被积函数的原函数，属于基础题．‎ ‎4．复数在复平面上对应的点位于第________象限 A． 一 B． 二 C． 三 D． 四 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化简为的形式，得到，就可以得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵复数 ‎∴复数在复平面上对应的点位于第三象限 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 复数化简为的形式，是解题关键，的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．‎ ‎5．下列结论中 ‎①若，则；②；‎ ‎③；正确的个数为（ ）‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据初等函数的导数公式，进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为（cosx）′=﹣sinx，所以①错误，‎ 因为===﹣，所以②正确，‎ 因为f（x）=，所以，f′（x）=﹣2x﹣3，所以f′（3）=﹣，所以③正确．‎ 故正确的个数为2个，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了初等函数的导数公式的应用，属于基础题．‎ ‎6．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）‎ A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的推理过程，不难得到结论．‎ ‎【详解】‎ 在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由线面平行的性质易得，直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．‎ ‎7．函数的图象与直线相切，则a等于（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题考查导数的几何意义.‎ 设切点为 则，消去解得故选B ‎8．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）‎ A． 假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C． 假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可.‎ 详解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于 第一步应假设结论不成立，‎ 即假设三个内角都大于 故选B.‎ 点睛：反证法是一种论证方式，其方法是首先假设某命题的否命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立，得证.‎ ‎9．设函数f （x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原函数在 单调递增，在先单调递增再单调递减，然后再增，故导函数在大于零，在先大于零再小于零，然后大于零，所以选D.‎ 点睛：函数在某个区间内可导，如果，则在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.因此函数与导函数的关系可由函数增减性与导函数正负对应关系判定.‎ ‎10．由曲线y=,x=1,x=2,y=0所围成的封闭曲线的面积为 （ ）‎ A． ln2 B． C． D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分表示面积，然后计算即可．‎ ‎【详解】‎ 由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加 ‎11．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，‎ 因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，‎ 所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，‎ 则△=，‎ 所以实数a的取值范围是：[﹣，]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）‎ ‎12．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点( )‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象得：f（x）的增区间为（a，c），（d，0），（0，e），减区间为（c，d），（e，b），从而求出函数f（x）在开区间（a，b）内有1个极小值．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），‎ 导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，‎ 由图象得：‎ 当a＜x＜c，或d＜x＜0，或0＜x＜e时，f′（x）＞0，‎ 当c＜x＜d或e，x＜d时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的增区间为（a，c），（d，0），（0，e），减区间为（c，d），（e，b），‎ ‎∴f（d）是函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值，‎ ‎∴函数f（x）在开区间（a，b）内有1个极小值．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极小值的个数的求法，考查导数性质、函数的单调性、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知是虚数单位，则满足的复数的共轭复数为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把等式两边同时乘以，直接利用复数的除法运算求解，再根据共轭复数的概念即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由，得.‎ ‎∴复数的共轭复数为 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．‎ ‎14．函数f(x)＝exx2的单调递减区间为______________．‎ ‎【答案】(－2，0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）=ex•x2可求得f′（x）=ex（x2+2x），由f′（x）＜0可求其递减区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=ex•x2，‎ ‎∴f′（x）=ex•x2+2x•ex=ex（x2+2x），‎ ‎∴由f′（x）＜0得：﹣2＜x＜0；‎ ‎∴f（x）=ex•x2的单调递减区间为（﹣2，0）．‎ 故答案为：（﹣2，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=ex（x2+2x）是关键，考查分析与运算的能力，属于基础题．‎ ‎15．由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点的连线与平面垂直，用的是____推理 ‎【答案】类比 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．‎ ‎【详解】‎ 从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间，用的是类比推理． 故答案为类比．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．‎ ‎16．函数f(x)的导函数y＝f '(x)的图象如图所示， 其中－3，2，4是f '(x)＝0的根， 现给出下列命题：‎ ‎(1) f(4)是f(x)的极小值； ‎ ‎(2) f(2)是f(x)极大值；‎ ‎(3) f(－2)是f(x)极大值；‎ ‎(4) f(3)是f(x)极小值；‎ ‎(5) f(－3)是f(x)极大值．‎ 其中正确的命题是 ________________．(填上正确命题的序号)‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值；函数在﹣3，4处，导函数为0，函数有可能取极值，当左正右负，取极大值；当左负右正，取极小值 ‎【详解】‎ 由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值，则（3）（4）错误；‎ 函数在﹣3，4处，导数为0，且先减后增，故函数在﹣3，4处取得极小值，则（1）对，（5）错；‎ 函数在2处导数为0，且先增后减，故函数在2处取得极大值，则（2）对，‎ 故答案为：(1)(2)．‎ ‎【点睛】‎ 极值点处导函数与x轴相交，要注意验证导数为0处左右的函数的单调性．一个可导函数在某点处有极值的充要条件是这个函数在该点处的导数等于0而且在该点两侧导数异号．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数z=m(m-1)+( m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是 ‎(1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i ‎【答案】⑴m=1⑵m=0⑶ m=2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于复数，（1）当且仅当时，复数；（2）当且仅当，时，复数是纯虚数；（3）当且仅当，时，复数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当且仅当 解得m=1，‎ 即m=1时，复数z=0．‎ ‎（2）当且仅当解得m=0，‎ 即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数．‎ ‎（3）当且仅当 解得m=2，‎ 即m=2时，复数z=2+5i．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．‎ ‎18．已知(－)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】依题意∶＝14∶3，即3＝14，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴n＝10.‎ 设第r＋1项为常数项，‎ 又Tr＋1＝ ()10－r(－)r ‎＝(－2)r 令＝0，得r＝2.‎ ‎∴T3＝ (－2)2＝180，‎ 即常数项为180.‎ ‎19．观察下列各等式(i为虚数单位)：‎ ‎(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；‎ ‎(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；‎ ‎(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；‎ ‎(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．‎ 记f(x)＝cos x＋isin x．‎ 猜想出一个用f (x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；‎ ‎【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的式子，发现若，则，进而利用复数的运算法则和和差角公式，可证得结论.‎ ‎【详解】‎ f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)‎ ‎＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i ‎＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)‎ ‎＝f(x＋y)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎20．已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a)。若f/(-1)=0，求函数y=f(x)在上的最大值和最小值 ‎【答案】最大值为f（1）=6，最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用f'（﹣1）=0，可求得函数解析式，进而可研究函数的单调性，从而确定极值，进而可知最值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ f'（﹣1）=0，∴ 3﹣2a+1=0，即a=2． ‎ ‎∴．‎ 由f'（x）＞0，得x＜﹣1或； ‎ 由f'（x）＜0，得．因此，函数f（x）的单调增区间为，；‎ 单调减区间为．‎ f（x）在x=﹣1取得极大值为f（﹣1）=2；f（x）在取得极小值为．‎ 由∵，f（1）=6且 ‎∴ f（x）在[﹣，1]上的最大值为f（1）=6，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 函数的最值：‎ ‎(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎21．设f(x)=ax3+bx+c为奇函数其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f/(x)的最小值为-12‎ ‎（1）求a,b,c的值 ‎（2）求函数极大值和极小值.‎ ‎【答案】（1）a=2，b=﹣12，c=0（2）极大值是8，极大值是﹣8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；‎ ‎（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，进而得到函数的极值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵ f（x）为奇函数，‎ ‎∴ f（﹣x）=﹣f（x）‎ 即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c ‎∴ c=0‎ ‎∵ f'（x）=3ax2+b的最小值为﹣12‎ ‎∴ b=﹣12‎ 又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为因此，f'（1）=3a+b=﹣6‎ ‎∴ a=2，b=﹣12，c=0．‎ ‎（2）f（x）=2x3﹣12x．f′（x）=6（x+）（x﹣），列表如下：‎ 所以函数f（x）的单调增区间是（﹣∞，）和（，+∞），‎ ‎∴ f（x）在[﹣1，3]上的极大值是f（）=8，最小值是f（）=﹣8．‎ ‎【点睛】‎ 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎22．已知函数在与处都取到极值．‎ ‎(1)求的值及函数的单调区间；‎ ‎(2)若对不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题已知与时都取得极值可得从而获得两个方程，可求出的值，再由导数可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）且，求恒成立问题，可运用导数求出函数的最值，即： ，‎ 可解出的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由， 得 ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ¯ ‎ 极小值 ‎ ‎ 所以函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2），当时， ‎ 为极大值，而， 则为最大值，‎ 要使恒成立，则只需要，‎ 得 考点：（1）导数与极值及方程思想。（2）恒成立中的最值思想。‎