甘肃省天水市一中2018-2019学年高一上学期暑假开学考试数学试题

甘肃省天水市一中2018-2019学年高一上学期暑假开学考试数学试题

天水一中 2018 级 2018-2019 学年度第一学期开学检测考试 数学试题 （满分：100 分时间：60 分钟） 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1. 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A. x2+1 B. x2+2x﹣1 C. x2+x+1 D. x2+4x+4 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 所以选 D 考点：公式法分解因式 2.下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据最简二次根式的定义，判断即可. 【详解】由题意可知， 最简二次根式. 故选：A 【点睛】本题考查初高中知识衔接的根式问题，属于较易题. 3.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于 ， 两点，则图中使反比例函数的值小 于一次函数的值的 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 为 2 24 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x+ + = + = + + 30 12 2x 8 33 30 A B x 1x < − 1x < − 0 2x< < 2x > 1 0x− < < 2x > 【解析】 【分析】 根据图象可知，在同一坐标系内，图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值，直接判断 x 的取值范围，即可. 【详解】由图可知，使反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是 或 . 故选：B 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，属于较易题. 4.下列各式正确的是() A. =a B. a0=1 C. =-4 D. =-5 【答案】D 【解析】 由于 ，则选项 A、C 排除，D 正确，B 需要加条件 ，本题选 D. 5.关于 的分式方程 ，下列说法正确的是（ ） A. 时，方程的解为负数 B. 方程的解是 C. 时，方程的解是正数 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 分析】 分类讨论， 与 ，解方程即可. 【详解】当 时，方程无解. 当 时，方程的解为： 且 时，方程的解是正数； 时，方程的解为负数. 故选：A 【点睛】本题考查解方程，分类讨论思想，属于较易题. 6.不等式 的解集是（ ） 【 1x < − 0 2x< < 8 8a 44 (-4) 55 (-5) , , n n a na a n =   为偶数 为奇数 0a ≠ x 15 m x =− 5m < − 5x m= + 5m > − 0m = 0m ≠ 0m = 0m ≠ 5x m= + 5m > − 0m ≠ 5m < − 2x x> A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：由 ，得 ， 或 .所以选 D. 考点：二次不等式的解法. 7.多项式 的一个因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将多项式因式分解，由此确定正确选项. 【详解】依题意 ，所以多项式的因式为 ， . 故选：B 【点睛】本小题主要考查多项式因式分解，属于基础题. 8.已知不等式 的解集为空集，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 不等式 的解集为空集，等价于方程 最多一个实数根，即 ， 解不等式，即可. 【详解】由题意可知， ，解得 . 故选：A 【点睛】本题考解一元二次不等式，属于中档题. ( 0)−∞， (01)， (1 )+ ∞， ( 0) (1 )−∞ ∪ + ∞， ， 2x x> 2 0, ( 1) 0x x x x− > ∴ − > 0x∴ < 1x > 2 22 15x xy y− − 2 5x y− 3x y− 3x y+ 5x y− ( )( )2 22 15 3 2 5x xy y x y x y− − = − + 3x y− 2 5x y+ 2 4 0x ax+ + < 4 4a− ≤ ≤ 4 4a− < < 4a ≤ − 4a ≥ 4a < - 4a > 2 4 0x ax+ + < 2 4 0x ax+ + = 0∆ ≤ 2 4 4 0a∆ = − × ≤ 4 4a− ≤ ≤ 9.如图，若一次函数 的图象经过二、三、四象限，则二次函数 的图象 可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知， ， ，从而确定二次函数的图形，即可. 【详解】因为一次函数 的图象经过二、三、四象限. 所以 ， . 则二次函数 ，开口向下，对称轴 . 即二次函数 的图象可能是 C 选项. 故选：C 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象，属于中档题. 10.若实数 ，且 ， 满足 ， ，则代数式 的 值为 A. B. C 或 D. 或 【答案】A y ax b= + 2y ax bx= + 0a < 0b < y ax b= + 0a < 0b < 2y ax bx= + 02 bx a = − < 2y ax bx= + a b¹ a b 2 8 5 0a a− + = 2 8 5 0b b− + = 1 1 1 1 b a a b − −+− − 20− 2 2 20− 2 20 【解析】 【详解】 满足 ， 可看着方程 的两根， ， ，故选 A. 【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归 思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在 解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用 这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟 悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题表面是求出 的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解. 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 11.函数 与 的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意可知，将 与 列方程组，解方程组，即可. 【详解】由题意可知， ，解得 或 . 即方程组两组解，函数有 2 个交点. 故答案为：2 【点睛】本题考查求函数的交点，属于较易题. 12.分解因式： ________. ,a b 2 28 5 0, 8 5 0a a b b− + = − + = ,a b∴ 2 8 5 0x x− + = 8, 5a b ab∴ + = = ( ) ( ) ( )( ) 2 21 11 1 1 1 1 1 b ab a a b a b − + −− −+ =− − − − ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 8 2 5 2 8 2 201 5 8 1 a b ab a b ab a b + − − + + − × − × += = = −− + + − + ,a b 1y x = y x= 1y x = y x= 1y x y x  =  = 1 1 x y =  = 1 1 x y = −  = − 2 24ax ay− = 【答案】 【解析】 【分析】 先提公因式 ，再利用平方差公式，求解即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，属于较易题. 13.要使式子 有意义， 的取值范围是________. 【答案】 且 【解析】 【分析】 若使分式有意义，则需分母不为 ，若使得开偶次方的根式有意义，则需被开方式大于或等于 ，列不等式组，求解，即可. 详解】若使式子 有意义 则需 ，解得 且 故答案为： 且 【点睛】本题考查解不等式，属于较易题. 14.已知二次函数 的图象如图所示，则下列 6 个代数式： 、 、 、 、 、 中，其值为正的式子的个数是________. 【答案】3 【 ( )( )2 2a x y x y+ − a ( ) ( )( )22 2 24 2 2 2ax ay a x y a x y x y − = − = + −  ( )( )2 2a x y x y+ − 1x x + x 1x ≥ − 0x ≠ 0 0 1x x + 0 1 0 x x ≠  + ≥ 1x ≥ − 0x ≠ 1x ≥ − 0x ≠ 2y ax bx c= + + ab ac a b c+ + a b c− + 2a b+ 2a b− 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象，确定 ， ， ，再令 与 ，确定 的正 负，从而判断各式子的正负，即可. 【详解】由二次函数 的图象可知： 二次函数 开口向下， ，对称轴 且 . 则 ， ，即 ， ， . 二次函数 与 轴有两个交点， . 不妨设两个交点横坐标分别为： ， ，则 ， 即 ， ，所以 . 由图象可知， 时， ； 时， 令 ，则 令 ，则 综上所述： ， ， 这 3 个代数式的值为正. 故答案为：3 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，属于中档题. 三、解答题 15. 把下列各式分解因式 （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【详解】解：（1） 0a < 0 12 b a < − < > 0∆ 1x = 1x = − y 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 0a < 2 bx a = − 0 12 b a < − < 0b > 2b a< − 0ab < 2 0a b+ > 2 0a b− < 2y ax bx c= + + x 2 4 0b ac∆ = − > 1x 2x 1 > 0x 2 0x > 1 2 0bx x a + = − > 1 2 0cx x a = > 0ac > 1x = 0y > 1x = − 0y < 1x = 0y a b c= + + > 1x = − 0y a b c= − + < ac 2a b+ a b c+ + 4 27 18x x− − 4 3 2 2 3 4m n m n m n mn+ − − 2( 3)( 3)( 2)x x x+ − + 2( ) ( )mn m n m n+ − 4 2 2 2 2 7 18 ( 9)( 2) ( 3)( 3)( 2) x x x x x x x − − = − + = + − + （2） 16.已知一元二次函数 . （1）试判断该函数的图象与 轴有没有交点，有几个交点？ （2）若该函数的图象与 轴有两个交点 ， ，试用 表示 并求出它的最 小值. 【答案】（1）有，有 2 个不同的交点（2） ，最小值为 3 【解析】 【分析】 （1）根据判别式 的正负，判断即可. （2）根据韦达定理，可知 ， ，代入 ，等 价变形为关于 的二次函数，利用配方法求最值，即可. 【详解】解：（1） 所以该函数的图象与 x 轴有 2 个不同的交点. （2）由韦达定理 ， ， 所以 即 的最小值为 3. 【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，属于中档题. 17.不等式 （1）若不等式的解集为 ，求 的值； （2）若不等式的解集为 R，求 的取值范围． 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 ( ) [( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )( ) ( ) ( ) m n m n m n mn mn m m n mn n mn m m n mn n mn m m n n m n mn m n m n mn m n m n + − − = + − − = + − + = + − + = + − = + − 2 2y x mx m= − + − x x ( )1,0x ( )2 ,0x m 2 2 1 2x x+ ( )22 2 1 2 1 3x x m+ = − + ( )2 4 2m m∆ = − − 1 2x x m+ = 1 2 2x x m= − ( )22 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x+ = + − m ( ) ( )22 4 2 2 4 0m m m∆ = − − = − + > 1 2x x m+ = 1 2 2x x m= − ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 1 3 3x x x x x x m m m+ = + − = − − = − + ≥ 2 2 1 2x x+ 2 2 6 0kx x k− + < { }3 2xx x< − > −或 k k 【答案】（1） ；（2） 【解析】 分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得. （2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为 R 当且仅当二次项系数小于 0，判别式小于 0. 详解：(1) 不等式 的解集是 或 方程 的两个根为-3,-2 , (2):①k=0 时，显然不满足题意 ② 时 ，解得 ，综上： 点睛：本题考查了一元二次不等式 解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围， 解题时注意讨论 ，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键． 18.如图，对称轴为直线 的抛物线经过点 和 . （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的 平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 【 答 案 】（1 ） 解 析 式 为 ， 此 时 顶 点 坐 标 为 （ 2 ） 的 2 5k = − 6 6k < − 0k ≠ 0k = 7 2x = ( )6,0A ( )0,4B ( ),E x y 22 7 25 3 2 6y x = − −   7 25,2 6  −   ，其中 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设抛物线的解析式为 ，将点 和 代入，列 方程组，求解即可. （2）过点 E 作 ，垂足为 H，由题意可知， ，即 ，求解即可. 【详解】解：（1）由题可设抛物线的解析式为 ， 抛物线经过点 和 ，解得： . 抛物线的解析式为 ，此时顶点坐标为 . （2）过点 E 作 ，垂足为 H，如图. 由 得 ， . 点 是抛物线上位于第四象限一动点， ， . 四边形 OEAF 是平行四边形， . 274 252S x = − − +   1 6x< < 27 2y a x k = − +   ( )6,0A ( )0,4B EH OA⊥ OAE AOF∆ ≅ ∆ 12 2 2OAES S OA EH OA EH∆= = × ⋅ = ⋅ 27 2y a x k = − +    ( )6,0A ( )0,4B 2 2 76 02 70 42 a k a k   − + =    ∴   − + =    2 3 25 6 a k  =  = − ∴ 22 7 25 3 2 6y x = − −   7 25,2 6  −   EH OA⊥ 22 7 25 03 2 6x − − =   1 1x = 2 6x =  ( ),E x y 1 6x∴ < < 25 06 y− ≤ <  OAE AOF∴∆ ≅ ∆ 12 2 62OAES S OA EH OA EH y∆∴ = = × ⋅ = ⋅ = × . 四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式为 ，其中 . 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，待定系数法，属于中档题. 6y= − 22 7 256 3 2 6x   = − × − −      274 252x = − − +   ∴ 274 252S x = − − +   1 6x< <