2021高考数学大一轮复习考点规范练24解三角形理新人教A版

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考点规范练24　解三角形 ‎　考点规范练B册第14页　 ‎ 基础巩固 ‎1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=‎3‎,b=2,A=60°,则c=(　　)‎ A‎.‎‎1‎‎2‎ B.1 C‎.‎‎3‎ D.2‎ 答案:B 解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c‎×‎‎1‎‎2‎,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.‎ ‎2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案:D 解析:∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,‎ ‎∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,‎ 即A=B或A+B=90°,‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=‎3‎,则b等于(　　)‎ A‎.‎‎13‎ B.4 C.3 D‎.‎‎15‎ 答案:A 解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=‎1‎‎2‎,∴B=‎π‎3‎‎.‎ 又S=‎1‎‎2‎ac·sinB=‎1‎‎2‎‎×‎1×c‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎,∴c=4.‎ 又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4‎×‎‎1‎‎2‎=13,∴b=‎‎13‎‎.‎ ‎4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ 7‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ 答案:B 解析:依题意可得AD=20‎10‎m,AC=30‎5‎m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC‎2‎+AD‎2‎-CD‎2‎‎2AC·AD‎=‎(30‎5‎‎)‎‎2‎+(20‎10‎‎)‎‎2‎-5‎‎0‎‎2‎‎2×30‎5‎×20‎‎10‎=‎6000‎‎6000‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)‎ A.7.5 B.7 C.6 D.5‎ 答案:D 解析:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,‎ ‎∴由余弦定理可得b‎×‎b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc+a‎×‎a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=c2,整理可得2c2=2c3,‎ 解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.‎ ‎6.(2019全国Ⅱ,理15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π‎3‎,则△ABC的面积为　　　　. ‎ 答案:6‎‎3‎ 解析:∵b2=a2+c2-2accosB,‎ ‎∴(2c)2+c2-2×2c×c‎×‎‎1‎‎2‎=62,‎ 即3c2=36,解得c=2‎3‎或c=-2‎3‎(舍去).‎ ‎∴a=2c=4‎‎3‎‎.‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎acsinB=‎1‎‎2‎‎×‎4‎3‎‎×‎2‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎=6‎‎3‎‎.‎ 7‎ ‎7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足‎(sinA-sinC)(a+c)‎b=sin A-sin B,则C=　　　　　. ‎ 答案:‎π‎3‎ 解析:在△ABC中,‎∵‎‎(sinA-sinC)(a+c)‎b=sinA-sinB,‎ ‎∴‎‎(a-c)(a+c)‎b‎=a-b.∴a2+b2-c2=ab,‎ ‎∴cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=‎1‎‎2‎.∴‎C=‎π‎3‎‎.‎ ‎8.在△ABC中,B=120°,AB=‎2‎,A的角平分线AD=‎3‎,则AC=　　　　　. ‎ 答案:‎‎6‎ 解析:由题意及正弦定理,可知ABsin∠ADB‎=‎ADsinB,‎ 即‎2‎sin∠ADB‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎,故∠ADB=45°.‎ 所以‎1‎‎2‎A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2‎2‎sin60°=‎‎6‎‎.‎ ‎9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB=‎3‎ km,则C,D之间的距离为　　　　　. ‎ 答案:‎5‎ km 解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,‎ 由正弦定理可得ABsin∠ADB‎=‎ADsin∠ABD,‎ 即‎3‎sin60°‎‎=‎ADsin45°‎,∴AD=‎3‎sin45°‎sin60°‎‎=‎‎2‎(km),‎ 7‎ 由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,‎ ‎∴BC=AB=‎3‎km,∴AC=3km,‎ 在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=‎5‎km.‎ ‎10.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-4‎2‎bc=3a2.‎ ‎(1)求sin A;‎ ‎(2)若3csin A=‎2‎asin B,△ABC的面积为‎2‎,求△ABC的周长.‎ 解:(1)因为3b2+3c2-4‎2‎bc=3a2,所以b2+c2-a2=‎4‎‎2‎‎3‎bc.‎ 所以cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎,‎ 所以sinA=‎‎1-cos‎2‎A‎=‎1-‎‎8‎‎9‎=‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)因为3csinA=‎2‎asinB,‎ 所以3ac=‎2‎ab,即b=‎3‎‎2‎‎2‎c.‎ 因为△ABC的面积为‎2‎,所以‎1‎‎2‎bcsinA=‎2‎,‎ 即‎1‎‎2‎‎×‎‎3‎‎2‎‎2‎c2‎×‎1‎‎3‎=‎‎2‎,解得c=2.‎ 所以b=3‎2‎,a=‎‎18+4-2×3‎2‎×2×‎‎2‎‎2‎‎3‎‎=‎6‎.‎ 故△ABC的周长为2+3‎‎2‎‎+‎6‎.‎ 能力提升 ‎11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=‎3‎bc,且b=‎3‎a,则下列关系一定不成立的是(　　)‎ A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2‎ 答案:B 解析:∵b2+c2-a2=‎3‎bc,∴cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎3‎‎2‎,∴A=30°.‎ ‎∵b=‎3‎a,∴sinB=‎3‎sinA=‎3‎‎2‎,∴B=60°或B=120°.‎ 7‎ 当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;‎ 当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.‎ ‎12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若‎2a-cb‎=‎cosCcosB,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)‎ A.4‎3‎ B.2‎3‎ C.2 D‎.‎‎3‎ 答案:A 解析:∵在△ABC中,‎2a-cb‎=‎cosCcosB,‎ ‎∴(2a-c)cosB=bcosC.‎ ‎∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.‎ ‎∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.‎ ‎∴cosB=‎1‎‎2‎,即B=‎π‎3‎‎.‎ 由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,‎ 因此,△ABC的面积S=‎1‎‎2‎acsinB=‎3‎‎4‎ac≤4‎3‎,故选A.‎ ‎13.(2019浙江,14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. ‎ 答案:‎12‎‎2‎‎5‎‎　‎‎7‎‎2‎‎10‎　‎ 解析:如图所示,‎ 设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=π‎2‎-α,在△BDC中,由正弦定理得‎3‎sinπ‎4‎‎=‎xsinα=3‎2‎‎⇒‎sinα=x‎3‎‎2‎‎.‎在△ABD中,由正弦定理得‎5-xsin(π‎2‎-α)‎‎=‎‎4‎sin‎3π‎4‎=4‎2‎‎⇒‎cosα=‎5-x‎4‎‎2‎‎.‎由sin2α+cos2α=x‎2‎‎18‎‎+‎‎(5-x‎)‎‎2‎‎32‎=1,解得x1=-‎‎3‎‎5‎ 7‎ ‎(舍去),x2=‎21‎‎5‎‎⇒‎BD=‎12‎‎2‎‎5‎‎.‎在△ABD中,由正弦定理得‎0.8‎sin∠ABD‎=‎4‎sin(π-π‎4‎)‎⇒‎sin∠ABD=‎2‎‎10‎‎⇒‎cos∠ABD=‎‎7‎‎2‎‎10‎‎.‎ ‎14.(2019辽宁凌源高三一模)设函数f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎+2cos2x.‎ ‎(1)当x‎∈‎‎0,‎π‎2‎时,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=‎3‎‎2‎‎,‎‎2‎a=‎3‎b,c=1+‎3‎,求△ABC的面积.‎ 解:(1)由已知得,f(x)=‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos2x+cos2x+1=‎3‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎cos2x+1=sin‎2x+‎π‎6‎+1.‎ ‎∵x‎∈‎‎0,‎π‎2‎,‎∴π‎6‎≤‎2x+π‎6‎‎≤‎‎7π‎6‎,‎ ‎∴‎1‎‎2‎≤‎sin‎2x+‎π‎6‎+1≤2.∴函数f(x)的值域为‎1‎‎2‎‎,2‎‎.‎ ‎(2)∵f(A)=sin‎2A+‎π‎6‎+1=‎3‎‎2‎,∴sin‎2A+‎π‎6‎‎=‎1‎‎2‎.‎ 又0A,∴B=π‎3‎或‎2π‎3‎,∴C=‎π‎2‎或π‎6‎.‎ 7‎