数学（理）卷·2017届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次周考（2016

数学（理）卷·2017届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次周考（2016

天生一中2014级数学周考练（理）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．关于直线与平面，有以下四个命题：‎ ‎①若且，则； ②若且，则；‎ ‎③若且，则； ④若且，‎ 则；其中真命题的序号是（ ）‎ A．②③ B．③④ C．①④ D．①②‎ ‎2．已知函数，则函数满足（ ）‎ A．最小正周期为 B．图象关于点对称 C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称 ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎4．如图，在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上两点,且的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（ ）‎ A.点到平面的距离 B.直线与平面所成的角 C.三棱锥的体积 D.的面积 ‎5．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ )‎ ‎ B． C． D．‎ ‎10．已知球的半径为R，则半球的最大内接正方体的边长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎13．如图，长方体中，点分别是的中点，则异面直线与所成的角是 ‎ ‎14．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于 ‎ ‎15．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为 ‎ ‎16．若正数x，y满足x＋3y-5xy=0，则3x＋4y的最小值是 ‎ 三、解答题（每小题12分，共24分）‎ ‎17．如图，在三棱柱中，面为矩形，为的中点，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，求BC与平面ACD所成角的正弦值.‎ ‎18．已知三棱柱中，平面平面，，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ 天水一中2014级数学周考练（理）答案 一、 选择题 ‎ ADABB DCDDC BC 二、 填空题 ‎13.90° 14．31 15． 16．5‎ 三、 解答题 ‎17. （Ⅰ）证明：由已知得，, ∴Rt△BAD∽Rt△ABB1 ‎ ‎∴∠BDA=∠B1AB, ∴∠ABD+∠B1AB=∠ABD+∠BDA=90º ‎∴在△AOB中，∠AOB=180º -（∠ABO+∠OAB ） =90º,即BD⊥AB1 ‎ 另BC⊥AB1，BD∩BC=B，∴AB1⊥平面BCD，CD平面BCD,‎ ‎∴CD⊥AB1 ‎ ‎（Ⅱ） 在Rt△ABD中，AB=1，AD= ∴AO=‎ 在Rt△AOB中, 得BO=, 即 ‎ 建立如图坐标系，设BC与平面ACD所成的角为 ‎ ‎ 设平面ADC的法向量为n.解得n=.‎ ‎ 即BC与平面ACD所成角的正弦值为 ‎18. （Ⅰ）由于平面平面，，所以平面，所以.‎ 而，所以四边形是菱形，因此，所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）设，作于，连接，‎ 由（Ⅰ）知平面，即平面，所以，‎ 又于，因此，‎ 所以为两平面所成锐二面角的平面角.‎ 在中，，，故直角边，‎ 又因为中，因此中斜边，‎ 所以，所以所求两平面所成锐二面角的余弦值为. []‎ ‎【一题多解】如图，取的中点，的中点，则，‎ 因为，所以，又平面，‎ 以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.‎ ‎（Ⅰ），，，，‎ 由，知，‎ 又，从而平面. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，‎ 再设平面的法向量为，，，‎ 所以令，则，‎ 故.‎ 因此所求两平面所成锐二面角的余弦值为.‎