【数学】四川省仁寿第二中学2019-2020学年高二下学期质量检测（期中）（文）

【数学】四川省仁寿第二中学2019-2020学年高二下学期质量检测（期中）（文）

四川省仁寿第二中学2019-2020学年 高二下学期质量检测（期中）（文）‎ ‎ 时间：‎‎2020年5月26日 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（　　）‎ A．﹣4 B．﹣‎2 ‎C．2 D．4‎ ‎3．执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（　　）‎ A．7 B．‎3 ‎C．6 D．5‎ ‎4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）‎ A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 ‎6．已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，那么p，q的值分别是（　　）‎ A．p＝4，q＝5 B．p＝﹣4，q＝‎3 ‎C．p＝-4，q＝5 D．p＝4，q＝3‎ ‎7．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（　　）‎ A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s‎2 ‎C．s2＞s3＞s1 D．s3＞s2＞s1‎ ‎8．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A．（0，1] B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎10．函数f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx的最小值为（　　）‎ A．3ln3﹣12 B．﹣4ln2﹣‎10 ‎C．﹣8ln2﹣16 D．﹣8ln2﹣12‎ ‎11．函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）‎ A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 ‎ C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞ex﹣1的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（1，+∞）‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为　 　．‎ ‎14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）直方图中的a＝　 　．‎ ‎（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　 　．‎ ‎15．已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝　 　．‎ ‎16．已知偶函数f（x）（x∈R），其导函数为f'（x），当x＞0时，，，则不等式的解集为　 　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．求函数y＝x3﹣x2- x +1在 的最值．‎ ‎18．已知a∈R，p：“∀x∈[1，3]，x2﹣a≥‎0”‎，q：“方程x2+2ax+2＝0无实数解”．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15，25），第二组[25，35），第三组[35，45），第四组[45，55），第五组[55，65]，得到的样本的频率分布直方图如下：‎ 调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表．‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 ‎[15，25）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 ‎[25，35）‎ ‎18‎ x 第3组 ‎[35，45）‎ y ‎0.9‎ 第4组 ‎[45，55）‎ ‎9‎ a 第5组 ‎[55，65]‎ ‎7‎ b ‎（1）分别求出n，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人；‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．‎ ‎20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x+16＝0．‎ ‎（1）若a是掷一枚骰子所得到的点数，求方程有实根的概率．‎ ‎（2）若a∈[﹣6，6]，求方程没有实根的概率．‎ ‎21．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0．‎ ‎（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎22．已知函数f（x）＝lnx﹣2x，g（x）＝﹣ax2+ax﹣2．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（1，﹣2）处有相同的切线，求函数f（x）﹣g（x）的极值；（2）若h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调性．‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1-5： BCBDC 6-10： CACAD 11-12：AD 二．填空题（共4小题）‎ ‎13【解答】解：由题意，可知：‎ y′＝﹣sinx﹣，‎ ‎∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．‎ 曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，‎ 整理，得：x+2y﹣2＝0．‎ 故答案为：x+2y﹣2＝0．‎ ‎14【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1＝1，解得a＝3‎ ‎（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000＝6000‎ 故答案为：（1）3 （2）6000‎ ‎15【解答】解：函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝‎3a+1，而f（1）＝a+2，‎ 切线方程为：y﹣a﹣2＝（‎3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），‎ 所以7﹣a﹣2＝（‎3a+1）（2﹣1），‎ 解得a＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎16【解答】解：令g（x）＝xf（x）﹣，‎ 当x＞0时，g'（x）＝f（x）+xf'（x）+＞0，‎ g（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 因为f（x）是偶函数，‎ 所以g（x）是奇函数．‎ 因为f（5）＝，‎ 所以g（5）＝‎5f（5）﹣＝0．‎ ‎∴g（x）＞0⇔x＞5；g（x）＜0⇔x＜﹣5‎ 不等式f（x）＞等价于＞0，所以或，解得x＞5或x＜﹣5．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17.最大值27分之44，无最小值 ‎18【解答】解（1）∵命题∀x∈[1，3]，x2﹣a≥0为真命题，‎ ‎∴a≤（x2）min，又∵x∈[1，3]，∴a≤1．‎ ‎（2）若命题q是真命题，∴△＝‎4a2﹣8＜0，∴，‎ 因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以两命题一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假，，∴，‎ 当命题p为假，命题q为真，，∴．‎ 综上所述：或．‎ ‎19【解答】解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，‎ 再结合频率分布直方图可知n＝，‎ 所以x＝＝0.9，‎ y＝100×0.03×10×0.9＝27，‎ ‎（2）因为第2，3，4组回答正确的共有54人，‎ 所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：‎ 第2组：×6＝2；第3组：×6＝3；第4组：×6＝1．‎ ‎（3）设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．‎ 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种，‎ 其中所抽取的两人来自不同组的结果为：‎ ‎（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，C1），（B2，C1），（B3，C1），共11种，‎ 所以所抽取的两人来自不同年龄组概率P＝．．‎ ‎20【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，‎ 依题意知，基本事件的总数有6个，‎ 二次方程x2﹣2（a﹣2）x+16＝0有实根，等价于△＝4（a﹣2）2﹣4×16≥0．‎ 设“方程有实根”的事件为A，‎ 则事件A包含的基本事件为a＝6共1个，‎ 因此，方程有实根的概率为．‎ ‎（2）由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验的全部结果构成区域Ω＝{a|﹣6≤a≤6}，其长度为12，‎ 满足条件的事件为B，且△＝4（a﹣2）2﹣4×16＜0，‎ 解得﹣2＜a＜12．‎ 因此，方程没有实根的概率为．‎ ‎21【解答】（1）依题意可得：2﹣‎2f（1）﹣1＝0，即f（1）＝，‎ ‎∵f（x）＝xlnx+ax+b，‎ ‎∴f′（x）＝lnx+a+1，‎ 又∵函数f（x）在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0，f（1）＝，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，‎ 当x时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；‎ 当x时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）．‎ ‎22【解答】解：（1），f'（1）＝1﹣2＝﹣1，g'（x）＝﹣2ax+a，g'（1）＝﹣‎2a+a＝﹣a，‎ 由题意知﹣a＝﹣1，∴a＝1，‎ ‎∴g（x）＝﹣x2+x﹣2，∴f（x）﹣g（x）＝lnx+x2﹣3x+2，‎ ‎∴，x＞0，‎ ‎∴当或x＞1时，[f（x）﹣g（x）]'＞0，当时，[f（x）﹣g（x）]'＜0，‎ ‎∴f（x）﹣g（x）在上是增函数，在上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（x）﹣g（x）的极大值，极小值为f（1）﹣g（1）＝0；‎ ‎（2）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣（a+2）x+2+lnx的定义域为（0，+∞），‎ ‎＝，‎ 当a≤0时，∵x＞0，∴ax﹣1＜0，∴时，h'（x）＞0，时，h'（x）＜0，h（x）的单调增区间为，单调减区间为，‎ 当0＜a＜2时，h'（x）＞0的解集为，h'（x）＜0解集为，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，‎ 当a＝2时，h'（x）≥0，当时取等号，h（x）的单调增区间为（0，+∞），‎ 当a＞2时，h'（x）＞0解集为，h'（x）＜0解集为，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，‎ 综上，a≤0时，h（x）的单调增区间为，单调减区间为，‎ ‎0＜a＜2时，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为，‎ a＝2时，h（x）的单调增区间为（0，+∞），没有减区间，‎ a＞2时，h（x）的单调增区间为，，单调减区间为．‎