2018届二轮复习（文） 专题四 数列 课件（全国通用）

2018届二轮复习（文） 专题四 数列 课件（全国通用）

4.2 　数列大题 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - 1 . 求通项公式的常见类型 (1) 已知 a n 与 S n 的关系或 S n 与 n 的关系 , 利用公式 (2) 等差数列、等比数列求通项或转化为等差 ( 比 ) 数列求通项 . (3) 由递推关系式求数列的通项公式 . ① 形如 a n+ 1 =a n +f ( n ), 利用累加法求通项 . ② 形如 a n+ 1 =a n f ( n ), 利用累乘法求通项 . - 6 - 2 . 数列求和的常用方法 (1) 公式法 : 利用等差数列、等比数列的求和公式 . (2) 错位相减法 : 适合求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 S n , 其中 { a n },{ b n } 一个是等差数列 , 另一个是等比数列 . (3) 裂项相消法 : 即将数列的通项分成两个式子的代数和 , 通过累加抵消中间若干项的方法 . (4) 拆项分组法 : 先把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ), 再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列 , 最后分别求和 . (5) 并项求和法 : 把数列的两项 ( 或多项 ) 组合在一起 , 重新构成一个数列再求和 , 适用于正负相间排列的数列求和 . - 7 - 3 . 数列单调性的常见题型及方法 (1) 求最大 ( 小 ) 项时 , 可利用 : ① 数列的单调性 ; ② 函数的单调性 ; ③ 导数 . (2) 求参数范围时 , 可利用 : ① 作差法 ; ② 同号递推法 ; ③ 先猜后证法 .   4 . 数列不等式问题的解决方法 (1) 利用数列 ( 或函数 ) 的单调性 . (2) 放缩法 : ① 先求和后放缩 ; ② 先放缩后求和 , 包括放缩后成等差 ( 或等比 ) 数列再求和 , 或者放缩后裂项相消再求和 . 4 . 2 . 1 　 等差、等比数列与 数列 的 通项及求和 - 9 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 等差、等比数列的通项及 求和 例 1 等差数列 { a n } 中 , a 3 +a 4 = 4, a 5 +a 7 = 6 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = [ a n ], 求数列 { b n } 的前 10 项和 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数 , 如 [0 . 9] = 0,[2 . 6] = 2 . 解 (1) 设数列 { a n } 的公差为 d , 由题意有 2 a 1 + 5 d= 4, a 1 + 5 d= 3 , - 10 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 所以数列 { b n } 的前 10 项和为 1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 2 = 24 . 解题心得 对于等差、等比数列 , 求其通项及前 n 项和时 , 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 . - 11 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 1 (2017 全国 Ⅱ , 文 17) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , a 1 =- 1, b 1 = 1, a 2 +b 2 = 2 . (1) 若 a 3 +b 3 = 5, 求 { b n } 的通项公式 ; (2) 若 T 3 = 21, 求 S 3 . 解 设 { a n } 的公差为 d ,{ b n } 的公比为 q , 则 a n =- 1 + ( n- 1) d , b n =q n- 1 . 由 a 2 +b 2 = 2 得 d+q= 3 . ① (1) 由 a 3 +b 3 = 5, 得 2 d+q 2 = 6 . ② 因此 { b n } 的通项公式为 b n = 2 n- 1 . - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 (2) 由 b 1 = 1, T 3 = 21 得 q 2 +q- 20 = 0, 解得 q=- 5 或 q= 4 . 当 q=- 5 时 , 由 ① 得 d= 8, 则 S 3 = 21 . 当 q= 4 时 , 由 ① 得 d=- 1, 则 S 3 =- 6 . - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 可转化为等差、等比数列的 问题 例 2 已知 { a n } 是公差为 3 的等差数列 , 数列 { b n } 满足 b 1 = 1, b 2 = , a n b n+ 1 +b n+ 1 =nb n . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 { b n } 的前 n 项和 . 解 (1) 由已知 , a 1 b 2 +b 2 =b 1 , b 1 = 1, b 2 = , 得 a 1 = 2 . 所以数列 { a n } 是首项为 2, 公差为 3 的等差数列 , 通项公式为 a n = 3 n- 1 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 无论是求数列的通项还是求数列的前 n 项和 , 通过变形、整理后 , 能够把数列转化为等差数列或等比数列 , 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 2 设 { a n } 是公比大于 1 的等比数列 , S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 S 3 = 7, 且 a 1 + 3,3 a 2 , a 3 + 4 构成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项 ; - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 求数列的通项及错位相减求和 例 3 (2017 天津 , 文 18 ) 已知 { a n } 为等差数列 , 前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ),{ b n } 是首项为 2 的等比数列 , 且公比大于 0, b 2 +b 3 = 12, b 3 =a 4 - 2 a 1 , S 11 = 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ) . 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2 +b 3 = 12, 得 b 1 ( q+q 2 ) = 12, 而 b 1 = 2, 所以 q 2 +q- 6 = 0 . 又因为 q> 0, 解得 q= 2 . 所以 , b n = 2 n . 由 b 3 =a 4 - 2 a 1 , 可 得 3 d-a 1 = 8 . ① 由 S 11 = 11 b 4 , 可得 a 1 + 5 d= 16, ② 联立 ①② , 解得 a 1 = 1, d= 3, 由此可得 a n = 3 n- 2 . 所以 ,{ a n } 的通项公式为 a n = 3 n- 2 ,{ b n } 的通项公式为 b n = 2 n . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 (2) 设数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 T n , 由 a 2 n = 6 n- 2, 有 T n = 4 × 2 + 10 × 2 2 + 16 × 2 3 + … + (6 n- 2) × 2 n , 2 T n = 4 × 2 2 + 10 × 2 3 + 16 × 2 4 + … + (6 n- 8) × 2 n + (6 n- 2) × 2 n+ 1 , 上述两式相减 , 得 -T n = 4 × 2 + 6 × 2 2 + 6 × 2 3 + … + 6 × 2 n - (6 n- 2) × 2 n+ 1 =- (3 n- 4)2 n+ 2 - 16 . 得 T n = (3 n- 4)2 n+ 2 + 16 . 所以 , 数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 (3 n- 4)2 n+ 2 + 16 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式 , 或通过变形转换成等差、等比数列求通项 ; 如果数列 { a n } 与数列 { b n } 分别是等差数列和等比数列 , 那么数列 { a n ·b n } 的前 n 项和采用错位相减法来求 . - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 3 (2017 山西太原二模 , 文 17) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = , 数列 { b n } 满足 b n =a n +a n+ 1 ( n ∈ N * ) . (1) 求数列 { b n } 的通项公式 ; ∵ 当 n= 1 时也成立 , ∴ a n =n. ∴ b n =a n +a n+ 1 =n+n+ 1 = 2 n+ 1 . - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 ∴ 数列 { c n } 的前 n 项和 T n = 2 2 + 2 × 2 3 + 3 × 2 4 + … +n ·2 n+ 1 . 2 T n = 2 3 + 2 × 2 4 + … + ( n- 1)·2 n+ 1 +n ·2 n+ 2 , ∴ T n = ( n- 1)·2 n+ 2 + 4 . - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 求数列的通项及裂项 求和 例 4 (2017 全国 Ⅲ , 文 17) 设数列 { a n } 满足 a 1 + 3 a 2 + … + (2 n- 1) a n = 2 n. (1) 求 { a n } 的通项公式 ; 解 (1) 因为 a 1 + 3 a 2 + … + (2 n- 1) a n = 2 n , 故当 n ≥ 2 时 , a 1 + 3 a 2 + … + (2 n- 3) a n- 1 = 2( n- 1) . 两式相减得 (2 n- 1) a n = 2 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 对于已知等式中含有 a n , S n 的求数列通项的题目 , 一般有两种解题思路 , 一是消去 S n 得到 f ( a n ) = 0, 求出 a n ; 二是消去 a n 得到 g ( S n ) = 0, 求出 S n , 再求 a n . 把数列的通项拆成两项之差 , 求和时中间的项能够抵消 , 从而求得其和 . 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 . - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 4 (2017 陕西渭南二模 , 文 17) 已知 { a n } 为公差不为零的等差数列 , 其中 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , a 3 +a 4 = 12 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , ∵ a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , a 3 +a 4 = 12, ∴ a n = 2 n- 1, n ∈ N * . - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 故所求的 n= 1 009 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和 例 5 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 = 2, S 5 = 30 . 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且 T n = 2 n - 1 . (1) 求数列 { a n },{ b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ), 求数列 { c n } 的前 n 项和 . ∴ d= 2, ∴ a n = 2 n. 对数列 { b n }: 当 n= 1 时 , b 1 =T 1 = 2 1 - 1 = 1, 当 n ≥ 2 时 , b n =T n -T n- 1 = 2 n - 2 n- 1 = 2 n- 1 , 当 n= 1 时也满足上式 . ∴ b n = 2 n- 1 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 (2) c n = ( - 1) n ( a n b n + ln S n ) = ( - 1) n a n b n + ( - 1) n ln S n . ∴ ln S n = ln n ( n+ 1) = ln n+ ln( n+ 1) . 而 ( - 1) n a n b n = ( - 1) n ·2 n ·2 n- 1 =n ·( - 2) n , 设数列 {( - 1) n a n b n } 的前 n 项和为 A n , 数列 {( - 1) n ln S n } 的前 n 项和为 B n , 则 A n = 1 × ( - 2) 1 + 2 × ( - 2) 2 + 3 × ( - 2) 3 + … +n ·( - 2) n , ① 则 - 2 A n = 1 × ( - 2) 2 + 2 × ( - 2) 3 + 3 × ( - 2) 4 + … +n ·( - 2) n+ 1 , ② ① - ② 得 3 A n = 1 × ( - 2) 1 + ( - 2) 2 + ( - 2) 3 + … + ( - 2) n -n ·( - 2) n+ 1 - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当 n 为偶数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … + [ln n+ ln( n+ 1)] = ln( n+ 1) - ln 1 = ln( n+ 1); 当 n 为奇数时 , B n =- (ln 1 + ln 2) + (ln 2 + ln 3) - (ln 3 + ln 4) + … - [ln n+ ln( n+ 1)] =- ln( n+ 1) - ln 1 =- ln( n+ 1) . 由以上可知 , B n = ( - 1) n ln( n+ 1) . - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 5 已知函数 f ( x ) = 4 x ,4, f ( a 1 ), f ( a 2 ),…, f ( a n ),2 n+ 3 ( n ∈ N * ) 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解 (1) ∵ 4, f ( a 1 ), f ( a 2 ), … , f ( a n ),2 n+ 3 成等比数列 , 其公比设为 q , ∴ 2 n+ 3 = 4 ×q n+ 2 - 1 , 解得 q= 2 . - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当 n 为偶数时 , S n = ( c 1 +c 3 +c 5 + … +c n- 1 ) + ( c 2 +c 4 + … +c n )