高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第25练空间几何体的三视图及表面积与体积文

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高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第25练空间几何体的三视图及表面积与体积文

第 25 练 空间几何体的三视图及表面积与体积 [题型分析·高考展望] 三视图是高考的热点和重点.其考查形式多种多样,选择题、填空 题和综合解答题都有出现,而这些题目以选择题居多;立体几何中的计算问题考查的知识, 涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明. 体验高考 1.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 答案 D 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱,底面半径为 1,高为 2,则表面积为 S=2×1 2 π×12+1 2 ×2π×1×2+2×2 =π+2π+4=3π+4. 2.(2016·课标全国乙)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ,则它的表面积是( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 答案 A 解析 由题意知,该几何体的直观图如图所示,它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个 平面)切掉左上角的1 8 后得到的组合体,其表面积是球面面积的7 8 和三个1 4 圆面积之和,由几何 体的体积易得球的半径为 2,则得 S=7 8 ×4π×22+3×1 4 π×22=17π,故选 A. 3.(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.1 答案 A 解析 由三视图知,三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高 h=1, 又底面积 S=1 2 ×1×1=1 2 , 所以体积 V=1 3 Sh=1 6 . 4.(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形,该三棱锥的正(主)视图 如图所示,则该三棱锥的体积是________. 答案 3 3 解析 由题意可知,因为三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形,由正(主)视图可得俯视图 (如图), 且三棱锥高为 h=1, 则面积 V=1 3 Sh=1 3 × 1 2 ×2 3×1 ×1= 3 3 . 5.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 ________cm2,体积是________cm3. 答案 80 40 解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成,上面正 方体的边长为 2 cm,下面长方体的底面边长为 4 cm,高为 2 cm,其直观图 如图:其表面积 S=6×22 +2×42 +4×2×4-2×22 =80(cm2).体积 V= 2×2×2+4×4×2=40(cm3). 高考必会题型 题型一 三视图识图 例 1 (1)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2), (2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正(主) 视图和俯视图分别为( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② (2)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为 ( ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由三视图可知,该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是 (0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线),故正(主) 视图是④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0), (2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②. (2)由已知中几何体的直观图,我们可得侧(左)视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确; 中间的棱在侧(左)视图中表现为一条对角线,故 C 不正确;而对角线的方向应该从左上到右 下,故 A 不正确. 点评 画法规则:(1)由几何体的轮廓线定形状,看到的画成实线,看不到的画成虚线. (2)正(主)俯一样长,俯侧(左)一样宽,正(主)侧(左)一样高. 变式训练 1 一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 答案 B 解析 该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一 个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 因此选 B. 题型二 空间几何体的表面积和体积 例 2 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+ 3 B.2+ 3 C.1+2 2 D.2 2 (2)(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. 答案 (1)B (2)8 3 π 解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图,如图, ∴该四面体的表面积为 S 表=2×1 2 ×2×1+2× 3 4 ×( 2)2=2+ 3,故选 B. (2)由三视图可知,该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成,底面半径为 1 m,圆锥的高 为 1 m,圆柱的高为 2 m,所以该几何体的体积 V=2×1 3 π×12×1+π×12×2=8 3 π(m3). 点评 利用三视图求几何体的表面积、体积,需先由三视图还原几何体,三个图形结合得出 几何体的大致形状,由实、虚线得出局部位置的形状,再由几何体的面积体积公式求解. 变式训练 2 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则 该几何体的表面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π (2)(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.1 3 +π B.2 3 +π C.1 3 +2π D.2 3 +2π 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由三视图可知,组合体的底面圆的面积和周长均为 4π,圆锥的母线长 l= 2 3 2+22=4,所以圆锥的侧面积为S 锥侧=1 2 ×4π×4=8π,圆柱的侧面积S 柱侧=4π×4 =16π,所以组合体的表面积 S=8π+16π+4π=28π,故选 C. (2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,V=1 2 π×12×2+1 3 × 1 2 ×1×2 ×1=π+1 3 ,选 A. 高考题型精练 1.如图所示的几何体是棱柱的有( ) A.②③⑤ B.③④⑤ C.③⑤ D.①③ 答案 C 解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱,故选 C. 2.(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 C 解析 四棱锥的直观图如图所示,PC⊥平面 ABCD,PC=1,底面四边形 ABCD 为正方形且边长为 1,最长棱长 PA= 12+12+12= 3. 3.(2016·课标全国丙)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画 出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81 答案 B 解析 由题意知,该几何体为底面为正方形的斜平行六面体,边长分别为 3,3, 45,几何体 的表面积 S=3×6×2+3×3×2+3× 45×2=54+18 5. 4.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积等于( ) A.7 3 π B.16π C.8π D.28 3 π 答案 D 解析 由三视图知,几何体是一个正三棱柱,外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中 点,外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离,可求得其半径为 12+ 2 3 3 2= 21 3 ,那么外接球的表面积为 4π×( 21 3 )2=28 3 π,故选 D. 5.已知某几何体的三视图如图所示,其正(主)视图和侧(左)视图是边长为 1 的正方形,俯 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( ) A.2 B.1 C.1 2 D.1 3 答案 C 解析 根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的直三棱柱, 且该三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,所以该三棱柱的体积为 V= Sh=1 2 ×1×1×1=1 2 ,故选 C. 6.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体 积为( ) A.1 3 +2 3 π B.1 3 + 2 3 π C.1 3 + 2 6 π D.1+ 2 6 π 答案 C 解析 由三视图知,半球的半径 R= 2 2 ,四棱锥为底面边长为 1,高为 1 的正四棱锥,∴V =1 3 ×1×1×1+1 2 ×4 3 π× 2 2 3=1 3 + 2 6 π,故选 C. 7.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为如图 1 所示的图形,则在图 2 的四个图中可以 作为该几何体的俯视图的是( ) A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④ 答案 A 解析 由正(主)视图和侧(左)视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故 ①③正确. 8.(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 2π 3 B.4 2π 3 C.2 2π D.4 2π 答案 B 解析 如图,设等腰直角三角形为△ABC,∠C=90°,AC=CB=2,则 AB=2 2. 设 D 为 AB 中点,则 BD=AD=CD= 2. ∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体,其体积 V=2×1 3 ×π×( 2)2× 2= 4 2π 3 . 9.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和 圆柱各一个,则新的底面半径为________. 答案 7 解析 设新的底面半径为 r,由题意得1 3 πr2·4+πr2·8=1 3 π×52×4+π×22×8,解得 r = 7. 10.一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示,则其正(主)视图的面积为________. 答案 4 解析 由题意知其正(主)视图如图所示, 则其面积为1 2 ×(1+3)×2=4. 11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四 棱锥的体积为________m3. 答案 2 解析 由三视图知,四棱锥的高为 3,底面平行四边形的一边长为 2,对应高为 1,所以其 体积 V=1 3 Sh=1 3 ×2×1×3=2. 12.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上,则该圆锥的 体积与球 O 的体积的比值为________. 答案 9 32 解析 设等边三角形的边长为 2a,球 O 的半径为 R, 则 V 圆锥=1 3 ·πa2· 3a= 3 3 πa3. 又 R2=a2+( 3a-R)2,所以 R=2 3 3 a, 故 V 球=4π 3 ·(2 3 3 a)3=32 3π 27 a3, 则其体积比值为 9 32 . 13.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 1 的正 方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形.设点 M,N,P 分别是棱 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是________. 答案 1 24 解析 由三视图易知几何体 ABC-A1B1C1 是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱, 则 1 1 .P A MN A PMN A PMNV V V - - - 又 S△PMN=1 2 MN·NP=1 2 ×1 2 ×1=1 4 , A 到平面 PMN 的距离 h=1 2 , ∴VA-PMN=1 3 S△PMN·h=1 3 ×1 4 ×1 2 = 1 24 .
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