高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第25练空间几何体的三视图及表面积与体积文

高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第25练空间几何体的三视图及表面积与体积文

第 25 练 空间几何体的三视图及表面积与体积 [题型分析·高考展望] 三视图是高考的热点和重点．其考查形式多种多样，选择题、填空 题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识， 涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明． 体验高考 1．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 答案 D 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为 S＝2×1 2 π×12＋1 2 ×2π×1×2＋2×2 ＝π＋2π＋4＝3π＋4. 2．(2016·课标全国乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径．若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是( ) A．17π B．18π C．20π D．28π 答案 A 解析 由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个 平面)切掉左上角的1 8 后得到的组合体，其表面积是球面面积的7 8 和三个1 4 圆面积之和，由几何 体的体积易得球的半径为 2，则得 S＝7 8 ×4π×22＋3×1 4 π×22＝17π，故选 A. 3．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D．1 答案 A 解析 由三视图知，三棱锥如图所示．由侧(左)视图得高 h＝1， 又底面积 S＝1 2 ×1×1＝1 2 ， 所以体积 V＝1 3 Sh＝1 6 . 4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图 如图所示，则该三棱锥的体积是________． 答案 3 3 解析 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正(主)视图可得俯视图 (如图)， 且三棱锥高为 h＝1， 则面积 V＝1 3 Sh＝1 3 × 1 2 ×2 3×1 ×1＝ 3 3 . 5．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 ________cm2，体积是________cm3. 答案 80 40 解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正 方体的边长为 2 cm，下面长方体的底面边长为 4 cm，高为 2 cm，其直观图 如图：其表面积 S＝6×22 ＋2×42 ＋4×2×4－2×22 ＝80(cm2)．体积 V＝ 2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)． 高考必会题型 题型一 三视图识图 例 1 (1)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)， (2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正(主) 视图和俯视图分别为( ) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② (2)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为 ( ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是 (0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主) 视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)， (2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②. (2)由已知中几何体的直观图，我们可得侧(左)视图首先应该是一个正方形，故 D 不正确； 中间的棱在侧(左)视图中表现为一条对角线，故 C 不正确；而对角线的方向应该从左上到右 下，故 A 不正确． 点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线． (2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高． 变式训练 1 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 答案 B 解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一 个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等， 因此选 B. 题型二 空间几何体的表面积和体积 例 2 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．2 2 (2)(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 答案 (1)B (2)8 3 π 解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图， ∴该四面体的表面积为 S 表＝2×1 2 ×2×1＋2× 3 4 ×( 2)2＝2＋ 3，故选 B. (2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为 1 m，圆锥的高 为 1 m，圆柱的高为 2 m，所以该几何体的体积 V＝2×1 3 π×12×1＋π×12×2＝8 3 π(m3)． 点评 利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出 几何体的大致形状，由实、虚线得出局部位置的形状，再由几何体的面积体积公式求解． 变式训练 2 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则 该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π (2)(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3 ＋π B.2 3 ＋π C.1 3 ＋2π D.2 3 ＋2π 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为 4π，圆锥的母线长 l＝ 2 3 2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝1 2 ×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4 ＝16π，所以组合体的表面积 S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选 C. (2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝1 2 π×12×2＋1 3 × 1 2 ×1×2 ×1＝π＋1 3 ，选 A. 高考题型精练 1．如图所示的几何体是棱柱的有( ) A．②③⑤ B．③④⑤ C．③⑤ D．①③ 答案 C 解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选 C. 2．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 答案 C 解析 四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面 ABCD，PC＝1，底面四边形 ABCD 为正方形且边长为 1，最长棱长 PA＝ 12＋12＋12＝ 3. 3．(2016·课标全国丙)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画 出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81 答案 B 解析 由题意知，该几何体为底面为正方形的斜平行六面体，边长分别为 3,3， 45，几何体 的表面积 S＝3×6×2＋3×3×2＋3× 45×2＝54＋18 5. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( ) A.7 3 π B．16π C．8π D.28 3 π 答案 D 解析 由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中 点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求得其半径为 12＋ 2 3 3 2＝ 21 3 ，那么外接球的表面积为 4π×( 21 3 )2＝28 3 π，故选 D. 5．已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为 1 的正方形，俯 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 3 答案 C 解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱， 且该三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，所以该三棱柱的体积为 V＝ Sh＝1 2 ×1×1×1＝1 2 ，故选 C. 6.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体 积为( ) A.1 3 ＋2 3 π B.1 3 ＋ 2 3 π C.1 3 ＋ 2 6 π D．1＋ 2 6 π 答案 C 解析 由三视图知，半球的半径 R＝ 2 2 ，四棱锥为底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，∴V ＝1 3 ×1×1×1＋1 2 ×4 3 π× 2 2 3＝1 3 ＋ 2 6 π，故选 C. 7．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为如图 1 所示的图形，则在图 2 的四个图中可以 作为该几何体的俯视图的是( ) A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④ 答案 A 解析 由正(主)视图和侧(左)视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故 ①③正确． 8．(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 2π 3 B.4 2π 3 C．2 2π D．4 2π 答案 B 解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则 AB＝2 2. 设 D 为 AB 中点，则 BD＝AD＝CD＝ 2. ∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积 V＝2×1 3 ×π×( 2)2× 2＝ 4 2π 3 . 9．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和 圆柱各一个，则新的底面半径为________． 答案 7 解析 设新的底面半径为 r，由题意得1 3 πr2·4＋πr2·8＝1 3 π×52×4＋π×22×8，解得 r ＝ 7. 10．一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示，则其正(主)视图的面积为________． 答案 4 解析 由题意知其正(主)视图如图所示， 则其面积为1 2 ×(1＋3)×2＝4. 11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四 棱锥的体积为________m3. 答案 2 解析 由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1，所以其 体积 V＝1 3 Sh＝1 3 ×2×1×3＝2. 12．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的 体积与球 O 的体积的比值为________． 答案 9 32 解析 设等边三角形的边长为 2a，球 O 的半径为 R， 则 V 圆锥＝1 3 ·πa2· 3a＝ 3 3 πa3. 又 R2＝a2＋( 3a－R)2，所以 R＝2 3 3 a， 故 V 球＝4π 3 ·(2 3 3 a)3＝32 3π 27 a3， 则其体积比值为 9 32 . 13．在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 1 的正 方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形．设点 M，N，P 分别是棱 AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥 P－A1MN 的体积是________． 答案 1 24 解析 由三视图易知几何体 ABC－A1B1C1 是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 则 1 1 .P A MN A PMN A PMNV V V － － － 又 S△PMN＝1 2 MN·NP＝1 2 ×1 2 ×1＝1 4 ， A 到平面 PMN 的距离 h＝1 2 ， ∴VA－PMN＝1 3 S△PMN·h＝1 3 ×1 4 ×1 2 ＝ 1 24 .