- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习课件:7-1 不等关系与不等式
§7.1 不等关系与不等式 [ 考纲要求 ] 1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系; 2. 了解不等式 ( 组 ) 的实际背景; 3. 掌握不等式的性质及应用. 2 .不等式的基本性质 【 答案 】 (1) × (2) × (3) × (4) × (5) √ 【 答案 】 B A . ①② B . ②③ C . ①④ D . ①③ 【 答案 】 D 3 .若 a , b ∈ R ,若 a + | b | < 0 ,则下列不等式中正确的是 ( ) A . a - b > 0 B . a 3 + b 3 > 0 C . a 2 - b 2 < 0 D . a + b < 0 【 解析 】 由 a + | b | < 0 知, a < 0 ,且 | a | > | b | , 当 b ≥ 0 时, a + b < 0 成立, 当 b < 0 时, a + b < 0 成立, ∴ a + b < 0 成立. 【 答案 】 D 4 . ( 教材改编 ) 下列各组代数式的关系正确的是 ________ . ① x 2 + 5 x + 6 < 2 x 2 + 5 x + 9 ; ② ( x - 3) 2 < ( x - 2)( x - 4) ; ③ 当 x > 1 时, x 3 > x 2 - x + 1 ; ④ x 2 + y 2 + 1 > 2( x + y - 1) . 【 解析 】 ① 2 x 2 + 5 x + 9 - ( x 2 + 5 x + 6) = x 2 + 3 > 0 , 即 x 2 + 5 x + 6 < 2 x 2 + 5 x + 9. ② ( x - 2)( x - 4) - ( x - 3) 2 = x 2 - 6 x + 8 - ( x 2 - 6 x + 9) =- 1 < 0 , 即 ( x - 2)( x - 4) < ( x - 3) 2 . ③ 当 x > 1 时, x 3 - x 2 + x - 1 = x 2 ( x - 1) + ( x - 1) = ( x - 1)( x 2 + 1) > 0 , 即 x 3 > x 2 - x + 1. ④ x 2 + y 2 + 1 - 2( x + y - 1) = ( x 2 - 2 x + 1) + ( y 2 - 2 y + 1) + 1 = ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 + 1 > 0 , 即 x 2 + y 2 + 1 > 2( x + y - 1) . 【 答案 】 ①③④ 题型一 比较两个数 ( 式 ) 的大小 【 例 1 】 (1) (2016· 长春模拟 ) 已知实数 a , b , c 满足 b + c = 6 - 4 a + 3 a 2 , c - b = 4 - 4 a + a 2 ,则 a , b , c 的大小关系是 ( ) A . c ≥ b > a B . a > c ≥ b C . c > b > a D . a > c > b 【 答案 】 (1)A (2)B 【 方法规律 】 比较大小的常用方法 (1) 作差法: 一般步骤: ① 作差; ② 变形; ③ 定号; ④ 结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2) 作商法: 一般步骤: ① 作商; ② 变形; ③ 判断商与 1 的大小; ④ 结论. (3) 函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. (2) 若 a = 18 16 , b = 16 18 ,则 a 与 b 的大小关系为 ________ . 【 答案 】 (1)B (2) a < b 【 解析 】 只有在 a > b > 0 时, A 才有意义, A 错; B 选项需要 a , b 同正或同负, B 错; C 只有 a > 0 时正确;因为 a ≠ b ,所以 D 正确. 【 答案 】 D 【 方法规律 】 解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 【 答案 】 C 题型三 不等式性质的应用 【 例 3 】 已知- 1 < x < 4 , 2 < y < 3 ,则 x - y 的取值范围是 ________ , 3 x + 2 y 的取值范围是 ________ . 【 解析 】 ∵ - 1 < x < 4 , 2 < y < 3. ∴ - 3 <- y <- 2 , ∴ - 4 < x - y < 2. 由- 1 < x < 4 , 2 < y < 3 ,得- 3 < 3 x < 12 , 4 < 2 y < 6 , ∴ 1 < 3 x + 2 y < 18. 【 答案 】 ( - 4 , 2) (1 , 18) 探究 1 将本例条件改为- 1 < x < y < 3 ,求 x - y 的取值范围. 【 解析 】 ∵ - 1 < x < 3 ,- 1 < y < 3 , ∴ - 3 <- y < 1 , ∴ - 4 < x - y < 4. ① 又 ∵ x < y , ∴ x - y < 0 , ② 由 ①② 得- 4 < x - y < 0. 故 x - y 的取值范围为 ( - 4 , 0) . 探究 2 若将本例条件改为 “ - 1 < x + y < 4 , 2 < x - y < 3 ” ,求 3 x + 2 y 的取值范围. 【 方法规律 】 由 a < f ( x , y ) < b , c < g ( x , y ) < d ,求 F ( x , y ) 的取值范围,可利用待定系数法解决,即设 F ( x , y ) = mf ( x , y ) + ng ( x , y )( 或其他形式 ) ,通过恒等变形求得 m , n 的值,再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F ( x , y ) 的取值范围. 构造函数 y = x c , ∵ c < 0 , ∴ y = x c 在 (0 ,+ ∞ ) 上是减函数, 又 a > b > 1 , ∴ a c < b c ,知 ② 正确; ∵ a > b > 1 , c < 0 , ∴ a - c > b - c > 1 , ∴ log b ( a - c ) > log a ( a - c ) > log a ( b - c ) ,知 ③ 正确. 【 答案 】 (1)C (2)D 易错警示系列 8 不等式变形中扩大变量范围致误 【 典例 】 设 f ( x ) = ax 2 + bx ,若 1 ≤ f ( - 1) ≤ 2 , 2 ≤ f (1) ≤ 4 ,则 f ( - 2) 的取值范围是 ________ . 【 易错分析 】 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出 a , b 的范围,再求 f ( - 2) = 4 a - 2 b 的范围,导致变量范围扩大. 【 答案 】 [5 , 10] 【 温馨提醒 】 (1) 此类问题的一般解法:先建立待求整体与已知范围的整体的关系,最后通过 “ 一次性 ” 使用不等式的运算求得整体范围. (2) 求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围 .查看更多