【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第5章第1讲数列的概念与简单表示法作业
对应学生用书[练案34理][练案33文]
第五章 数列
第一讲 数列的概念与简单表示法
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·广东广州模拟)数列{an}为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是( A )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[解析] 解法一：数列{an}为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝.
解法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D，都不符合题意，故选A．
2．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是( C )
A．16 B．24
C．26 D．28
[解析] 因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为( A )
A．31 B．32
C．61 D．62
[解析] 因为数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，所以a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.
4．(2019·兰州市高三诊断考试)朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1,3,6,10，….现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为( B )
A．50 B．55
C．100 D．110
[解析] 由题意可知三角垛从上向下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此得数列{an}的通项为an＝，则a10＝＝55，故选B．
5．(2019·福建泉州一中检测)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( D )
A．(3,6) B．(1,2)
C．(1,3) D．(2,3)
[解析] ∵数列{an}是递增数列且an＝∴
解得2
1，所以a8为最大项，可知m＝8.
12．(2019·北京人大附中期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，则an＝n .
[解析] ∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2时，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即＝(n≥2)，又a1＝1，∴an＝××…×＝××…×＝n.
三、解答题
13．(文)(2019·湖南衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
(理)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (文)(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.
因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，
所以归纳得an＝4n－1.
(2)因为an＋1＝4an＋3，
所以＝＝＝4.
(理)(1)因为Sn＝an，且a1＝1，
所以S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.
(2)由题意知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理，得an＝an－1，即＝.
所以＝3，＝，＝，…，＝，
将以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝.
所以an＝(n≥2)．
又a1＝1适合上式，故an＝(n∈N*)．
14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解析] (1)由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
B组能力提升
1．(2020·湖北武汉武昌实验中学月考)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，则( D )
A．an＋1＋an＝n＋2 B．an＋1－an＝n＋2
C．an＋1＋an＝n＋3 D．an＋1－an＝n＋3
[解析] 由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故选D．
2．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( C )
A．3(3n－2n) B．3n＋2
C．3n D．3·2n－1
[解析] 当n＝1时，a1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得到an＝3an－1，所以an＝3n.故选C．
3．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 021等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] 因为a1＝<，所以a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以数列具有周期性，周期为4，所以a2021＝a1＝.故选B．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是( C )
A．这个数列的第10项为
B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间[，1)内
D．数列{an}是单调递减数列
[解析] an＝＝＝.令n＝10，得a10＝，故选项A不正确；令＝，得9n＝300，此方程无正整数解，故不是该数列中的项，故选项B不正确；因为an＝＝＝1－，又n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，所以≤an<1，所以数列中的各项都在区间[，1)内，故选项C正确，选项D不正确．故选C．
5．(2019·银川模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}是递减数列．
[解析] (1)f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝an－
所以an－＝－2n，
所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±，
因为an>0，所以an＝－n，n∈N*.
(2)＝
＝<1，
因为an>0，所以an＋1
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