2018届二轮复习坐标系与参数方程课件

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第 1 讲 　 坐标系与参数方程 专题八 　 系列 4 选讲 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴 作为 极轴 ，且在两坐标系中取相同的长度 单位 . 如 图 ， 设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极 坐 标 分别为 ( x ， y ) 和 ( ρ ， θ ) ， 例 1 　 (2017 届江苏省苏北三市 ( 连云港、徐州、宿迁 ) 三模 ) 在极坐标系中，已知点 A ， 点 B 在直线 l ： ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 0(0 ≤ θ <2π) 上 . 当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标 . 解答 思维升华 解　 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 当线段 AB 最短时，点 B 为直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 与直线 l 的交点， 所以点 B 的直角坐标为 ( － 1,1). 思维升华　 (1) 在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一 . (2) 在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 . 跟踪演练 1 　 (2017 届河北省唐山市三模 ) 点 P 是曲线 C 1 ： ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 上的动点，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90° 得到点 Q ，设点 Q 的轨迹方程为曲线 C 2 . (1) 求曲线 C 1 ， C 2 的极坐标方程 ； 解答 解　 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ ＝ 4cos θ . 所以曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 4sin θ . (2) 射线 θ ＝ ( ρ >0) 与曲线 C 1 ， C 2 分别交于 A ， B 两点，定点 M (2,0) ， 求 △ MAB 的面积 . 解答 热点二　参数方程与普通方程的互化 1. 直线的参数方程 2. 圆的参数方程 解答 (1) 若 a ＝－ 1 ，求 C 与 l 的交点坐标； 当 a ＝－ 1 时，直线 l 的普通方程为 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0. (2) 若 C 上的点到 l 的距离的最大值 为 ， 求 a . 解答 思维升华 综上， a ＝ 8 或 a ＝－ 16. 思维升华　 (1) 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法 . 常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等 . (2) 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 x ， y 有范围限制，要标出 x ， y 的取值范围 . 跟踪演练 2 　 (2017 届广西柳州市模拟 ) 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度 . 已知直线 l 的 参数 方程是 ( t 为参数 ) ，曲线 C 的极坐标方程是 ρ cos 2 θ ＝ 2sin θ . ( 1) 写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 解答 消去参数 t ，得直线 l 的普通方程为 x － y ＋ 3 ＝ 0. 由曲线 C 的极坐标方程 ρ cos 2 θ ＝ 2sin θ ， 得 ρ 2 cos 2 θ ＝ 2 ρ sin θ ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＝ 2 y . (2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，点 M 为 AB 的中点，点 P 的极坐标 为 ， 求 | PM | 的值 . 解答 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 因为 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 ，所以 M (1,4) ， 又点 P 的直角坐标为 (1,1) ， 热点三　极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 . 例 3 　 (2017 届福建省泉州市质检 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的 参 数 方程 为 ( α 为参数 ) ；在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴 的 极坐标 系中，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ cos 2 θ ＝ sin θ . (1) 求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程； 解答 思维升华　 利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义 . 思维升华 可得 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ cos 2 α ＋ sin 2 α ， 即 C 1 的普通方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1. 方程 ρ cos 2 θ ＝ sin θ 可化为 ρ 2 cos 2 θ ＝ ρ sin θ ， (*) 所以 C 2 的直角坐标方程为 x 2 ＝ y . (2) 若射线 l ： y ＝ kx ( x ≥ 0) 分别交 C 1 ， C 2 于 A ， B 两点 ( A ， B 异于原点 ) ，当 k ∈ (1 ， ] 时，求 | OA |·| OB | 的取值范围 . 思维升华　 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用 . 解答 思维升华 思维升华 解答 (1) 求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； ρ sin θ － ρ cos θ ＝ 3 ，即 y － x ＝ 3 ， 因此直线 l 的直角坐标方程为 x － y ＋ 3 ＝ 0. (2) 设 P 是曲线 C 上的任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 . 解 答 则点 P 到直线 l 的距离为 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京 ) 在极坐标系中，点 A 在圆 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0 上，点 P 的坐标为 (1,0) ，则 | AP | 的最小值为 _____. 答案 解析 1 2 1 解析　 由 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0 ，得 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y ＋ 4 ＝ 0 ， 即 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ， 圆心坐标为 C (1,2) ，半径长为 1. ∵ 点 P 的坐标为 (1,0) ， ∴ 点 P 在圆 C 外 . 又 ∵ 点 A 在圆 C 上， ∴ | AP | min ＝ | PC | － 1 ＝ 2 － 1 ＝ 1. 2.(2017· 全国 Ⅱ ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ ＝ 4. (1) M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM |·| OP | ＝ 16 ，求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程； 解答 1 2 解　 设点 P 的极坐标为 ( ρ ， θ )( ρ >0) ，点 M 的极坐标为 ( ρ 1 ， θ )( ρ 1 >0) ，由题设知， 由 | OM |·| OP | ＝ 16 ，得 C 2 的极坐标方程 ρ ＝ 4cos θ ( ρ >0). 所以 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠ 0). 解答 1 2 解　 设点 B 的极坐标为 ( ρ B ， α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | ＝ 2 ， ρ B ＝ 4cos α . 于是 △ OAB 的面积 1 2 1 2 押题预测 解答 押题依据　 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点 . 本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题 . 1 2 1. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ ＝ 4cos θ . 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 是 ( t 是参数 ). (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； 押题依据 1 2 解　 由 ρ ＝ 4cos θ ，得 ρ 2 ＝ 4 ρ cos θ . 因为 x 2 ＋ y 2 ＝ ρ 2 ， x ＝ ρ cos θ ，所以 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 x ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 押题依据 解答 1 2 (2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，且 | AB | ＝ ， 求直线的倾斜角 α 的 值 . 1 2 得 ( t cos α － 1) 2 ＋ ( t sin α ) 2 ＝ 4 ， 化简得 t 2 － 2 t cos α － 3 ＝ 0. 设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1 ， t 2 ， 1 2 押题依据　 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势 . (1) 求曲线 C 1 的普通方程； 解答 1 2 押题依据 1 2 得 ρ ＝ a ，即点 P 的极坐标为 ( a ， 0) ； 将 θ ＝ 0( ρ ≥ 0) 代入 ρ ＝ 2cos θ ，得 ρ ＝ 2 ， 即点 Q 的极坐标为 (2,0 ). 押题依据 1 2 因为 | PQ | ＝ 1 ，所以 | PQ | ＝ | a － 2| ＝ 1 ， 所以 a ＝ 1 或 a ＝ 3. 解答 1 2 1 2 1 2