2015年高考试题——数学理（重庆卷）解析版

2015年高考试题——数学理（重庆卷）解析版

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分 150 分. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.[来源:学科网] 1．已知集合 A= 1,2,3 ,B= 2,3 ，则 （ ） A、A=B B、A B= C、AØ B D、BØ A 【答案】D 【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度. 2．在等差数列 na 中，若 2a =4， 4a =2，则 6a = （ ） A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 3．重庆市 2013 年各月的平均气温（ oC ）数据的茎叶图如下： 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 则这组数据的中位数是 （ ） A、19 B、20 C、21.5 D、23 【答案】B. 【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念. 4．“ 1x  ”是“ 1 2 log ( 2) 0x ”的 （ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B 【考点定位】充分必要条件. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 1 3  B、 2 3  C、 1 23  D、 2 23  【答案】A 【考点定位】组合体的体积. 【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些 基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间 想象能力和运算求解能力. 6．若非零向量 a，b 满足|a|= 22 3 |b|，且（a-b）  （3a+ 2b）， 则 a 与 b 的夹角为 （ ） A、 4  B、 2  C、 3 4  D、 【答案】A 【考点定位】向量的夹角. 7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入 K 的值为 8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A、s 3 4 B、s 5 6 C、s 11 12 D、s  15 24 【答案】C 【解析】由程序框图， k 的值依次为 0，2，4，6，8，因此 1 1 1 11 2 4 6 12S     （此时 6k  ）还必须计算 一次，因此可填 11 12s  ，选 C. 【考点定位】程序框图. 8．已知直线 l：x+ay-1=0（aR）是圆 C： 224 2 1 0x y x y     的对称轴.过点 A（-4，a）作圆 C 的 一条切线，切点为 B，则|AB|= （ ） A、2 B、 42 C、6 D、 2 10 【答案】C [来源:Zxxk.Com] 【考点定位】直线与圆的位置关系. 9．若 tan 2tan 5   ，则 3cos( )10 sin( )5      （ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C 【解析】 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 10．设双曲线 22 221xy ab（a>0,b>0）的右焦点为 1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分 别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 22a a b，则该双曲线的渐近线斜率的取值 范围是 （ ） A、( 1,0) (0,1) B、( , 1) (1, )   C、( 2,0) (0, 2) D、( , 2) ( 2, )   【答案】A 【考点定位】双曲线的性质. 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡 相应位置上. 11．设复数 a+bi（a，bR）的模为 3 ，则（a+bi）（ a-bi）=________. 【答案】3 【考点定位】复数的运算. 12． 5 3 1 2 x x  的展开式中 8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】 5 2 【考点定位】二项式定理 13．在 ABC 中，B=120o ，AB= 2 ，A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 【答案】 6 【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理） 考生注意：（14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆 O 的弦 AB，C D 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA=6，AE=9， PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=__ _____. 【答案】2 【考点定位】相交弦定理，切割线定理. 15．已知直线 l 的参数方程为 1 1 xt yt      （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2 35cos2 4( 0, )44        ，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2, ) 【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数 ( ) 1 2f x x x a    的最小值为 5，则实数 a=_______. 【答案】 4a  或 6a  【考点定位】绝对值的性质，分段函数. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8 分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个， 这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。 （1）求三种粽子各取到 1 个的概率； （2）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望 【答案】（1） 1 4 ；（ 2）分布列见解析，期望为 3 5 ． 【解析】[来源:学科网 ZXXK] 3 8 3 10 7(X 0) ,15 CP C= = = 12 28 3 10 7(X 1) ,15 CCP C= = = 21 28 3 10 1(X 2) ,15 CCP C= = = [来源:Z.xx.k.Com] 综上知，X 的分布列为 X 0 1 2 P 7 15 1 15 故 7 7 1 3E(X) 0 1 215 15 15 5= ? ? ? ． 【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 18．（本小题满分 13 分，（1）小问 7 分，（2）小问 6 分） 已知函数   2sin sin 3 cos2f x x x x   （1）求  fx的最小正周期和最大值； （2）讨论  fx在 2,63   上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为 23 2 - ；（ 2） ()fx在 5[ , ]6 12 上单调递增； 在 52[ , ]12 3 上 单调递减. 【解析】 调区间． [来源:学*科*网] 【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力． 方法进行研究． 19．（本小题满分 13 分，（1）小问4 要，（2）小问 9 分） 如题（19）图，三棱锥 P ABC 中，PC  平面 , 3, . ,2ABC PC ACB D E   分别为线段 ,AB BC 上的点，且 2, 2 2.CD DE CE EB    （1）证明： DE 平面 PCD （2）求二面角 A PD C的余弦值。 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 . 【解析】 试题解析：(1)证明：由 PC  平面 ABC，DE 平面ＡＢＣ，故 PC  DE 由 CE＝２，CD=DE＝ ２得  ＣＤＥ为等腰直角三角形，故 CD  DE 由 PC CD=C，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故 DE  平面 PCD 以Ｃ为坐标原点，分别以CACB CP， 　, 的方程为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)， Ｐ(0,0,3)，Ａ( 3 2 ,0,0), Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)， ED=(1,-1,0), (DP DA = １=(-1,-1,3) ,-1,0)２ 设平面 PAD 的法向量 1 1 1n１＝（x ,y ,z )， 由 0n DP１ ， 0n DA１ ， 得 1 1 1 1 11 30 (2,1,1)1 02 x y z n xy       故可取 . 【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力． 20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分） 设函数     23 x x axf x a Re  （1）若  fx在 0x  处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方 程； （2）若 在 3,  上为减函数，求 a 的取值范围。 【答案】（1） 0a  ，切线方程为30x ey-=；（ 2） 9[ , )2  . 【解析】 试题解析：(1)对 ()fx求导得        2 2 2 63 36() xx xx x a e x ax e x a x afx ee         因为 在 0x = 处取得极值，所以 (0) 0f   ，即 0a = . 当 时， 23( )= ,x xfx e 236() x xxfx e   ,故 33(1)= , (1)ffee   ,从而 在点 1 (1)f（， ）处的切线方程 为 33( 1)yxee- = - ,化简得30x ey-= (2)由(1)得，  236() x x a x afx e      , 令 ( )2g( ) 3 6x x a x a= - + - + 【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 的能力． 问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数 性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函 数的性质． 21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分） 如题（21）图，椭圆   22 2210xy abab    的左、右焦点分别为 12,,FF 过 2F 的直线交椭圆于 ,PQ两 点，且 1PQ PF （1）若 122 2, 2 2PF PF    ，求椭圆的标准方程 （2）若 1 ,PF PQ 求椭圆的离心率 .e 【答案】（1） 2 2+y =14 x ；（ 2） 63 【解析】 设椭圆的半焦距为 c，由已知 12PF PF ，因此 ( ) ( )2222 1 2 1 22 | FF | | PF | | PF | 2 2 2 2 2 3c = = + = + + - = ，即 3c= . 从而 22b1ac= - = 故所求椭圆的标准方程为 2 2+y =14 x . (2)解法一：如图(21)图，设点 P 00( , y )x 在椭圆上，且 12PF PF ，则 22 2 2 200 0022 y+ =1,x x y cab += 由椭圆的定义， 1 2 1 2| PF | | PF | 2 ,| QF | | QF | 2aa+ = + = , 从而由 1 2 2| PF | = | PQ| = | PF | + | QF |，有 11| QF | 4 2| PF |a=- 又由 12PF PF ， 1| PF | = | PQ |知 11| QF | 2 | PF |= ，因此( ) 12+ 2 | PF | =4a 于是( ) ( )222 2 2 4 .a a b a+ + - = 解得 2141 1 6 32 22 e      . 22 12 22| PF | | PF | (2 2) ( 2 1) 9 6 2 6 32 ce aa += = = - + - = - = - 【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力． 22．（本小题满分 12 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8 分） 在数列 na 中，  2 1 1 13, 0n n n na a a a a n N       （1）若 0, 2,   求数列 na 的通项公式； （2）若  00 0 1 , 2 , 1,k N kk     证明： 0 1 00 11223 1 2 1kakk    【答案】（1） 132n na  ；（ 2）证明见解析. 【解析】 2 2 2 2 00 1 0 0 0 00 11 1 1 1 11 1 n n nn n nn aa k kaak k k aaakk + -+ = = = - + ? +++ ，于是有 ( ) ( )0 0 01 1 2 1 1k k ka a a a a a++= + - + + - 0 10 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1k akk k k a k a k a           0 0 0 0 1 1 1 12 3 1 3 1 3 1k k k k         若存在某个 0nN ，使得 0n 0a = ，则由上述递推公式易得 0n1 0a + = ，重复上述过程可得 1 0a = ，此与 1 3a = 矛盾，所以对任意 Nn  , 0na  . 从而 1 2nnaa+ =  Nn  ，即{ }na 是一个公比q2= 的等比数列. 故 11 1 32nn na a q --= = ? . 求和得 ( ) ( )0 0 01 1 2 1 1k k ka a a a a a++= + - + + - 0 10 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1223 1 3 1 3 1 3 1 k akk k k a k a k a k k k k k                       【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证 能力，考查创新意识．