【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何的动态问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何的动态问题学案

一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学 素养和解决问题的策略造成的。‎ 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。‎ 二．解题策略 类型一 立体几何中动态问题中的角度问题 例1.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.‎ ‎【答案】‎ ‎，当时取等号.所以，当时，取得最大值.学 ‎ ‎【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ，.‎ 又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B. 学 ‎ ‎2、【2017届内蒙古包头市十校高三联考】在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3、【2017届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，， ，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 类型二 立体几何中动态问题中的距离问题 ‎【例2】如图所示，在空间直角坐标系中，是坐标原点，有一棱长为的正方体，和分别是体对角线和棱上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B学 ‎ ‎【指点迷津】求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2016届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考】如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）‎ A．21 B．22 C．23 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故． 学学 ‎ ‎2、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎3、【2017届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题 ‎【例3】在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）‎ A. 36 B. C. 24 D. ‎ ‎【答案】B ‎【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值。学 ‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2017届山东枣庄市高三理上学期末】《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）[ | |X|X| ]‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形中， ， 分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 3、【2015新课标2文10】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 学 ‎ ‎【解析】‎ 类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题 ‎【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为分别为的中点，所以，，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为.学 ‎ 故本题正确答案为.‎ ‎【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M为定点，所以点P的轨迹为线段HF，求其长度即可。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足 ‎，则点的轨迹是（ ）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【答案】C.‎ ‎2、【2017届浙江稽阳联谊学校高三月考】在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足 直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ）‎ A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 ‎【答案】D ‎3、【2017届浙江省名校协作体高三下学期考试】已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C学 ‎ ‎【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，‎ 类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题 ‎【例5】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析 设，设，则由题意，在空间图形中，设，‎ 在中，，‎ 在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，‎ 过作，连结，∴，‎ 则就是二面角的平面角，∴，学 ‎ 在中，，，‎ ‎【举一反三】‎ ‎ 1、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位 cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2、【浙江省2017届高三3月联考】矩形中， ， ，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】初始状态直线与直线成的角为 ，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.学 ‎ ‎3、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）‎ A．动点在平面上的射影在线段上 B．恒有平面⊥平面 C．三棱锥的体积有最大值 D．异面直线与不可能垂直 ‎【答案】D 三．强化训练 ‎1、【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论 ‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ 试题分析 由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，，连结AD，等腰△ABD中， ,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，学 ‎ 过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 ,‎ 为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.‎ 由最小角定理可知③正确；‎ 很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线与所成的最大角为90°，④错误.‎ 正确的说法为②③. 学 ‎ ‎2、【2015高考山东，理7】在梯形中，， .将梯 形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎ 3、【2017届河北定州市月考卷】设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎4、【江西师范大学附属中学2017届高三3月月考】如右图所示，在棱长为2的正方体中， 为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将面与面折成一个平面，设E关于的对称点为M，E关于 对称点为N,则周长的最小值为. 学 ‎ ‎5、如图所示，在棱长为2的正四面体中，是棱的中点，若是棱上一动点，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B[ 学 ]‎ ‎6、在直三棱柱中，底面为直角三角形， ，，，是上一动点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎7、在长方体中，，，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】由题意易得 ，作平面于，由对称性可知，因此 ‎，问题转化为在平面内，体对角线上找一点使得最小，如下图所示，过点作它关于直线的对称点，交直线与点, 再过点作于点，交于点，则的长度即为所求的最小值，易得，∴，‎ ‎，故选C．学 ‎ ‎8、已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，，两点间的距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9、如图，矩形中，，，平面，若在上只有两个点满足，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由，得 ，设 ，，则由勾股定理可计算 ，，，代入整理得 ，由题意得方程有两个正根，∴‎ ‎.‎ ‎10、【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )‎ ‎（A） （B） （）2 （）4 ‎【答案】‎ ‎11、【2017届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）‎ A．点到平面的距离 B．三棱锥的体积 C．直线与平面所成的角 D．二面角的大小 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析 A ∵平面也就是平面，既然和平面都是固定的，∴到平面的距离是定值；B ∵的面积是定值．（∵定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据的结论到平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥的体积是定值；C ∵是动点，也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线与平面所成的角不是定值；D ∵，为上任意一点，、为上任意两点，∴二面角的大小为定值．故选 C．‎ ‎12、长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】立体几何中的动态问题.‎ ‎∴（其中，），因此，，当且仅当时取到，因此.‎ ‎13、如图所示，正方体的棱长为, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，给出以下四个命题 ‎ ‎（1）平面平面；‎ ‎（2）当且仅当时，四边形的面积最小；‎ ‎（3）四边形周长，则是偶函数；‎ ‎（4）四棱锥的体积为常函数；以上命题中真命题的序号为______.‎ ‎【答案】①②③④.‎ ‎∴，则，则是偶函数；（4）根据分割思想，有，又，到平面的距离为1，‎ ‎，又，，∴为常函数．‎ ‎14、【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝ (x，y， 大于零)，则四面体P—EFQ的体积 (　　)‎ A．与x，y， 都有关 B．与x有关，与y， 无关 C．与y有关，与x， 无关 D．与 有关，与x，y无关[ , , ]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析 　∵DC∥A1B1，EF＝1，‎ ‎∴S△EFQ＝×1×2＝ (定值)．‎ 而点P到面EFQ的距离为P到面A1DCB1的距离，为DP·sin45°＝ .‎ ‎∴V四面体P—EFQ＝×× ＝ . ‎ ‎15、【2017届广西陆川县中学高三9月月考】正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16、如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）‎ A．是定值 B．点在某个球面上运动 C．存在某个位置，使 D．存在某位置，使平面 ‎【答案】C．‎ ‎【解析】取中点，连接，，则，，∴平面平面，‎ ‎∴平面，故D正确；由，为定值，为定值，‎ 由余弦定理可得，∴是定值，故A正确；∵是定点，∴是在以为圆心，为半径的圆上，故B正确；∵在平面中的射影为，与不垂直，∴存在某个位置，使错误，故选C．‎ ‎17、在平行四边形中，， ，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）[ | | ]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎[ 学_ _ ]‎ ‎18、直角梯形，满足，，，现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎19、【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】如图所示，正方体的棱长为1， ， 分别是棱， 的中点，过直线的平面分别与棱， 交于， ，设， ，给出以下命题 ‎ ‎①四边形为平行四边形；[ 学+ + ]‎ ‎②若四边形面积， ，则有最小值；‎ ‎③若四棱锥的体积， ，则为常函数；‎ ‎④若多面体的体积， ，则为单调函数.‎ ‎⑤当时，四边形为正方形.‎ 其中假命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎ 20、【2017届浙江省台州市高三上学期期末质量评估考试】如图，在矩形中，四边形为边长为的正方形，现将矩形沿过点 的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上,若点在折痕上射影为，则的最小值为（ ）‎ ‎[ 学 ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A