【数学】2020届一轮复习人教B版6-7数学归纳法学案
第七节 数学归纳法
数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
知识点 数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
易误提醒 运用数学归纳法应注意：
(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
[自测练习]
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝＋＋，故选D.
答案：D
2．(2018·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝( )时等式成立( )
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k＋2，故选B.
答案：B
考点一 用数学归纳法证明等式|
求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．
当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)
＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)
＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．
这就是说当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)，(2)知，对n∈N*，原等式成立．
用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
1．用数学归纳法证明下面的等式：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0·＝1，
∴原等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，
即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.
那么，当n＝k＋1时，则有
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k.
∴n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n∈N*，有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.考点二 用数学归纳法证明不等式|
设数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－a.
求证：对一切n≥2，都有an≤.
[证明] ∵数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－a，
∴a2＝a1－a>0，解得0
.
解：(1)证明：∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，
即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2.
证明：法一：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
法二：(数学归纳法)当n＝1时，＝1，＝，不等式成立．
假设当n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋，又＋－＝1－＋－1＋＝－＝>0，
∴＋＋…＋＋>，
∴原不等式成立．
考点三 归纳—猜想—证明问题|
将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
[解] 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
归纳—猜想—证明类问题的解题步骤
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．
3．设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，
n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，
则ak＋1＝f(ak)＝＝
＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任意的n∈N*，都有an＝成立.
14.数学归纳法在证明不等式中的易误点
【典例】 设函数f(x)＝x－sin x，数列{an}满足an＋1＝f(an)．
(1)若a1＝2，试比较a2与a3的大小；
(2)若00，又a3＝f(a2)＝a2－sin a2，
所以a3－a2＝－sin a2<0，所以a2>a3.
(2)证明：用数学归纳法证明当00，则当n＝k＋1时，ak＋1－ak＝－sin ak<0，
所以ak＋10，
所以f(x)是(0,1)上的单调递增函数，
所以ak＋1＝f(ak)>f(0)＝0，即00，即xk＋11，f(2)>1；
下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)<1.
①由(1)知当n＝3时，f(n)<1；
②假设n＝k(k≥3)时，f(k)<1，即f(k)＝＋＋…＋<1，那么
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋－<1＋＋＝1＋＋＝1－－<1，所以当n＝k＋1时，f(n)<1也成立．
由①和②知，当n≥3时，f(n)<1.
所以当n＝1和n＝2时，f(n)>1；当n≥3时，f(n)<1.
3．(2018·安庆模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：对任意n∈N*，an>2；
(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；
(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn<2n＋.
解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(n∈N*)；
①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；
②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1时，结论成立．
故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立．
(2){an}是单调递减的数列．
因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，
所以a－a<0，所以an＋12(n∈N*)，所以＝<，所以an＋1－2<(an－2)<2·(an－1－2)<…0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)证明：对任意的n∈N*，
等式＝都成立．
解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋，
故2f1＋f2＝－1.
(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，类似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
①当n＝1时，由上可知等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′
＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.
因此当n＝k＋1时，等式也成立．
综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
令x＝，可得nfn－1＋fn
＝sin(n∈N*)
所以＝(n∈N*)．
2．(2018·高考安徽卷)设实数c>0，整数p>1，n∈N*.
(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
(2)数列{an}满足a1>c，an＋1＝an＋a.
证明：an>an＋1>c.
证明：(1)用数学归纳法证明：
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)先用数学归纳法证明an>c.
①当n＝1时，由题设a1>c知an>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.
当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.
由ak>c>0得－1<－<<0.
由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.
因此a>c，即ak＋1>c.
所以n＝k＋1时，不等式an>c也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
再由＝1＋可得<1，即an＋1an＋1>c，n∈N*.
