2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知，，集合，集合，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为则，,n=1, 则=8.‎ 故答案为：D.‎ ‎2．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。‎ 详解： ‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。‎ ‎3．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选D.‎ 考点：分层抽样.‎ ‎【方法点晴】分层抽样是将总体按照一定标志分成若干层，分别从各层中抽检一定数量样本，最后汇总推算所需的总体估计量的一种统计抽样技术．分层抽样一般有三个步骤：第一，将样本分层；第二，确定在每个层次上总体的比例（或抽样比）；第三，利用这个比例，可计算出样本中每组（层）应调查的人数；第四，调查者必须从每层中抽取独立简单随机样本．‎ ‎4．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A，B，D对应的直观图分别如下：‎ 故选C.‎ 考点：空间几何体的三视图与直观图.‎ ‎5．已知函数，则不等式的解集为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．‎ 详解：由于，‎ 当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2=log24，解得0＜x≤4，‎ 当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，‎ ‎∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.‎ ‎6．若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选C.‎ 考点：正弦函数的图象与性质.‎ ‎7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ） ‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．‎ 详解：由题意可得 ∴ω=2．‎ 再由五点法作图可得 2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ ‎8．若函数在区间内单调递增，则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用四个选项代入f（x），分别求出函数y的解析式化简后，通过函数的单调增区间判断正确选项即可．‎ 详解：对于A，y=f（x）+sinx=2sinx，显然函数在区间内x=时函数取得最大值，函数存在增函数区间也存在减函数的区间，所以函数不单调递增，不正确；‎ 对于B，y=f（x）+sinx=sinx﹣cosx=sin（x﹣），区间内，‎ 所以 函数是单调增函数，正确．‎ 对于C，y=f（x）+sinx=sinx+cosx=sin（x+），区间内，‎ 所以，函数不是单调增函数，不正确．‎ 对于D，y=f（x）+sinx=0，在区间内单调递增，不正确；‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的判断，考查计算能力．两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式 将函数化为的形式.‎ ‎9．已知向量，且与垂直，那么的值为 (　 　)‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由已知向量的坐标，再由与垂直，列式求得k值．‎ 详解：∵=（1，k），=（2，2），‎ 又与垂直，∴1×2+2k=0，解得k=-1．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础题．‎ ‎10．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。‎ 详解：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。‎ ‎11．若在是减函数，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，结合已知条件即可求出a的最大值．‎ 详解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），‎ 由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，‎ 得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，‎ 取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，‎ 由f（x）在[0，a]是减函数，‎ 得a≤．‎ 则a的最大值是．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式 将函数化为的形式.‎ ‎12．已知是函数的一个零点，若，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，当时，，所以函数在上是增函数，又，所以，，故选C．‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若是的充分不必要条件,则是的____________条件.‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】分析：本题考查的知识点是四种命题及充要条件的定义，根据p是q的充分不必要条件，我们易得到p⇒q与q⇒p的真假，然后根据逆否命题真假性相同，即可得到结论．‎ 详解：∵p是q的充分不必要条件， ∴p⇒q为真命题，q⇒p为假命题， 故┐p⇒┐q为假命题，┐q⇒┐p为真命题 故┐p是┐q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分 点睛：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎14．已知，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以 .‎ 考点：角的变换，诱导公式，特殊角的三角函数.‎ ‎15．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】y=2x–2‎ ‎【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.‎ 详解：由，得 则曲线在点处的切线的斜率为，‎ 则所求切线方程为，即.‎ 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.‎ ‎16．已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=　　　.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】g(-2)=f(-2)+9=3,‎ 则f(-2)=-6,‎ 又f(x)为奇函数,‎ 所以f(2)=-f(-2)=6.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值及取最大值时的集合.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用降幂公式和辅助角公式化简可得，利用最小正周期公式得解；（Ⅱ）根据函数的性质得解.‎ 试题解析：（Ⅰ） ，所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）当，即 ‎， 时， 有最大值， 取最大值时的集合为.‎ 考点：（1）降幂公式；（2）辅助角公式；（3）函数的性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.‎ 视频 ‎18．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎(1)求的值.‎ ‎(2)当，，C为锐角时,求及的长．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由二倍角公式得到角C的正弦值；（2）先由正弦定理得到c边，再由二倍角公式得到cosC，最终余弦定理得到边长.‎ 详解：‎ ‎（1）由cos2C=1﹣2sin2C=﹣，及0＜C＜π，‎ 解得sinC=；‎ ‎（2）当a=2，2sinA=sinC时，‎ 由正弦定理=，‎ 解得c=4；‎ 由cos2C=2cos2C﹣1=﹣，及0＜C＜π，‎ 解得cosC=±；‎ 由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 化简得b2±b﹣12=0，‎ 解得b= 或b=2；‎ 所以b=或b=2，c=4．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 ‎19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：‎ 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）14%（2）有99%把握 ‎【解析】分析：（1）用频率估计概率，从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值；（2）由公式计算k的值，从而查表即可．‎ 详解：（1）需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为=14%；‎ ‎（2）由代入得，‎ k=≈9.967＞6.635；‎ 查表得P（K2≥6.635）=0.01；‎ 故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．‎ 点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力。‎ ‎20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎ 已知直线过点，斜率为，曲线：．‎ ‎ （1）写出直线的一个参数方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）若直线与曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据极直互化公式及参普互化的公式得到相应的普通方程和参数方程；（2）联立直线的参数方程和抛物线方程得到关于t的二次，由韦达定理得到结果.‎ 详解：（Ⅰ）∵ 直线过点，斜率为，∴直线的一个参数方程为 ；‎ ‎∵， ∴ ， 即得，‎ ‎∴， ∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）把代入整理得：，‎ 设点对应的参数分别为，则， ∴．‎ 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎21．(2016·重庆高二检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.‎ ‎(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）1:1‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意易证平面，再由面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）设棱锥的体积为，易求，三棱柱的体积为，于是可得，从而得到答案．‎ 试题解析：（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，‎ 所以BC⊥平面ACC1A1．‎ 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．‎ 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，‎ 所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．‎ 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．‎ 又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．‎ ‎（2）设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1．‎ 由题意得V1＝××1×1＝．‎ 又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，‎ 所以（V－V1）∶V1＝1∶1．‎ 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1．‎ 考点：平面与平面垂直的判定；棱信的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【易错点睛】（1）两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是很复杂的题目中要对此进行证明．‎ 视频 ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】（1）（2）[-1,1]‎ ‎【解析】分析：（1）对函数求导得到函数的极值点，进而得到最小值；（2）分两种情况：a,和a>0，使得函数的导函数大于等于0，之后变量分离，解出即可。‎ 详解：‎ ‎（1）‎ 由表得：当时，最小值为.‎ ‎（2）当时，，，‎ 若在上单调递增，则恒成立，即：，‎ ‎，，‎ 当时， ，在上是单调增的 又在上单调递增，所以在上恒成立.‎ ‎，.综上：‎ 点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎