新疆乌鲁木齐市第十中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

新疆乌鲁木齐市第十中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

乌鲁木齐第十中学高二年级2018-2019学年第二学期期末考试 数学(理科）试卷 Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标即可．‎ ‎【详解】由ρ=2cosθ，得ρ=2ρcosθ，化简为直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，即，‎ 所以圆心（1，0），即圆心（1，0）的极坐标为（1，0）.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题．‎ ‎2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．‎ 考点：相互独立事件概率的计算．‎ ‎3.参数方程（为参数）对应的普通方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域.‎ ‎【详解】参数方程（参数），‎ 消参后可得，‎ 因为 ‎ 所以 即 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题.‎ ‎4.若，则m等于(　 　)‎ A. 9 B. ‎8 ‎C. 7 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.‎ 详解：，‎ ‎，‎ 即，解得，故选C.‎ 点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．‎ 详解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，‎ 又由，则，‎ 则，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎6.下列说法中：相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；回归直线过样本点中心；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项.‎ ‎【详解】对于，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越强，所以错误；‎ 对于，根据线性回归方程的性质，可知回归直线过样本点中心，所以正确；‎ 对于，相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以正确；‎ 对于，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以正确；‎ 综上可知，正确的为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.‎ ‎7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.‎ ‎【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为，‎ 则甲获胜有以下三种情况：‎ 第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为；‎ 第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为；‎ 第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为；‎ 综上可知甲获胜概率为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的应用，属于基础题.‎ ‎8.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于 A. B. ‎ C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 ‎【详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，‎ 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，‎ 即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，‎ 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．‎ ‎9.在展开式中，的系数等于 A. 280 B. ‎300 ‎C. 210 D. 120‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．‎ ‎【详解】解：在的展开式中，项的系数为 ‎．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．‎ ‎10.在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2‎ 整除的数的个数为（ ）‎ A. 216 B. ‎288 ‎C. 312 D. 360‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数.‎ ‎【详解】由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：‎ 当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有种；‎ 当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有，‎ 综上可知，共有个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.‎ ‎11.将曲线按变换后的曲线的参数方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由变换：可得：,代入曲线可得：，‎ 即为：令 (θ为参数)即可得出参数方程．‎ 故选D.‎ ‎12. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A. 152 B. ‎126 ‎C. 90 D. 54‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．‎ 解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；‎ ‎②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；‎ ‎1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；‎ ‎2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；‎ 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，‎ 故选B．‎ 考点：排列、组合的实际应用．‎ Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.‎ ‎【详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.‎ ‎14.若随机变量，且，则随机变量的方差的值为______．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的方差公式先求得，再由随机变量即可求得.‎ ‎【详解】随机变量，‎ 根据二项分布的方差公式可得，‎ 由，‎ 所以，‎ 故答案为：15.‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布方差的求法，复合变换形式方差的求法，属于基础题.‎ ‎15.极坐标方程为所表示的曲线的离心率是______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程，即可求得曲线的离心率.‎ ‎【详解】极坐标方程，‎ 展开化简可得，‎ 即，‎ 因为 代入可得 则曲线为双曲线，由双曲线标准方程可知，‎ 所以双曲线离心率为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎16.如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域有公共边的颜色不同，则不同的染色方法有______种 ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意按照分类分步计数原理，可逐个安排，注意相邻不同即可.‎ ‎【详解】对于1，有三种颜色可以安排；‎ 若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有；‎ 若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有，‎ 综上可知，共有种染色方法.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，染色问题的应用，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.‎ 为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表： ‎ 常  喝 不常喝 总  计 肥  胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 总  计 ‎30‎ 已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为． ‎ ‎（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？ ‎ 独立性检验临界值表： ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中n=a+b+c+d．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，求出x的值，填表即可； ‎ ‎（2）计算观测值K2，对照数表得出结论； ‎ 试题解析：解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x，则= 解得x=6 ‎ 列联表如下： ‎ 常  喝 不常喝 总  计 肥  胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不肥胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 总  计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎（2）由（1）中列联表中的数据可求得随机变量k2的观测值： ‎ k=≈8.523＞7.789 ‎ 因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．‎ ‎18.已知在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大．‎ ‎（1）求含的项的系数；‎ ‎（2）求展开式中所有有理项．‎ ‎【答案】（1）-16；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据第5项二项式系数最大可得的值.由二项式定理展开通项，即可求得含的项的系数；‎ ‎（2）由二项式定理展开通项，即可求得有理项 ‎【详解】∵只有第5项的二项式系数最大，‎ ‎∴二项式的幂指数是偶数，那么其展开式的中间一项的二项式的系数最大，‎ ‎∴，‎ 解得． ‎ ‎（1）．‎ 其展开式的通项．‎ 令，得．‎ ‎∴含的项的系数为；‎ ‎（2）由，得，‎ 由，得（舍），‎ 由，得，‎ 由，得．‎ ‎∴展开式中的有理项为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开的应用，有理项的求法，属于基础题.‎ ‎19.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．‎ ‎(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1. ‎ 由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．‎ 故P(A1)＝‎ 所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.‎ ‎(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击 中目标”为事件B2， ‎ 则 P(A2)＝，‎ P(B2)＝‎ 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝‎ 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.‎ ‎20.某班要从6名男生4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数结果用数字作答．‎ ‎（1）所安排的男生人数不少于女生人数；‎ ‎（2）男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表；‎ ‎（3）女生乙必须担任数学课代表，且男生甲必须担任课代表，但不能担任语文课代表．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）1008.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据男生人数不少于女生人数，分三种情况讨论：选出5人中有5个男生，选出5人中有4名男生、1名女生，选出5人中有3名男生、2名女生，再全排列即可.‎ ‎（2）从剩余9人中选出4人，安排甲担任另外四科课代表，剩余四人全排列即可.‎ ‎（3）先安排甲担任另外三科的课代表，再从剩余8人中选择3人并全排列即可得解.‎ ‎【详解】（1）根据题意，分3种情况讨论：‎ ‎，选出的5人全部是男生，有种情况，‎ ‎，选出的5人中有4名男生、1名女生，有种情况，‎ ‎，选出的5人中有3名男生、2名女生，有种情况，‎ 则男生人数不少于女生人数的种数有种； ‎ ‎（2）根据题意，分3步分析：‎ ‎，在其他9人中任选4人，有种选法，‎ ‎，由于甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他4科的课代表，有种选法，‎ ‎，将其他4人全排列，担任其他4科的课代表，有种情况，‎ 则有种安排方法； ‎ ‎（3）根据题意，分3步分析：‎ ‎，由于女生乙必须担任数学课代表，甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他3科的课代表，有种选法，‎ ‎，在其他8人中任选3人，有种选法，‎ ‎，将其他3人全排列，担任其他3科的课代表，有种情况，‎ 则有种安排方法．‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.‎ ‎21.为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎170‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎176‎ ‎180‎ ‎74‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎76‎ ‎81‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．‎ ‎【答案】（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有 件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．‎ 详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得 所以乙厂生产的产品数量为30件 ‎（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品 由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）‎ ‎（3）可能的取值为0，1，2‎ ‎ ‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴‎ 点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎22.已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎2若与相交于两点，设点，求的值．‎ ‎【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而 ，代入根与系数的关系得到结果.‎ 试题解析：（I）（为参数） ，‎ 所以曲线的普通方程为. ‎ ‎，‎ 所以的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，‎ 将的参数方程代入的直角坐标方程，‎ 化简整理得，，所以， ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，， ，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.‎ ‎ ‎