数学卷·2018届湖北省宜昌市长阳二中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省宜昌市长阳二中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置）‎ ‎1．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（CUA）∩B=（　　）‎ A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}‎ ‎2．已知随机变量X服从正态分布N（3，），且P（X＞）=0.1587，则P（≤X≤）=（　　）‎ A．0.6588 B．0.6883 C．0.6826 D．0.6586‎ ‎3．命题“”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．‎ C． D．‎ ‎4．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（　　）‎ A．在处取得最大值 B．在处取得最大值 C．在处取得最大值 D．无最大值 ‎5．已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．[1，+∞）‎ ‎6．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）‎ A．16 B． C．32 D．48‎ ‎8．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0与直线ax+y﹣1=0的相交所得弦长为2，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎9．（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（　　）‎ A．30 B．70 C．90 D．﹣150‎ ‎10．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎11．已知多项式x3+x10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a2=（　　）‎ A．32 B．42 C．46 D．56‎ ‎12．已知椭圆x2+ky2=2k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置）‎ ‎13．某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有　　株．‎ ‎14．供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据如表提供的数据（其中=0.7，y=x+），用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程　　．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎15．如图，是一程序框图，则输出结果为　　．‎ ‎16．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题6小题共70分，请写出必要的解答过程）‎ ‎17．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 总计 ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ ‎（Ⅰ）试判断是否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；‎ 附：‎ K2=‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（Ⅱ）为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．‎ ‎18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p x y ‎（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q（p＜q）的值；‎ ‎（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．‎ ‎19．设数列{an}的前n项和，数列{bn}满足bn=log2an，cn=an+bn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知，‎ ‎（1）求出f（x）图象的对称中心的坐标；‎ ‎（2）△ABC三个内角A、B、C所对边为a、b、c，若f（A）+1=0，b+‎ c=2．求a的最小值．‎ ‎21．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．‎ ‎（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎22．已知椭圆，一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置）‎ ‎1．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（CUA）∩B=（　　）‎ A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由图象可知U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，根据集合的混合运算法则即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，‎ ‎∴CUA={0，4，5，6，7，8}，‎ ‎∴（CUA）∩B={5，6}，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．已知随机变量X服从正态分布N（3，），且P（X＞）=0.1587，则P（≤X≤）=（　　）‎ A．0.6588 B．0.6883 C．0.6826 D．0.6586‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用．‎ ‎【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，），可得曲线关于x=3对称，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，），‎ ‎∴曲线关于x=3对称 ‎∵P（X＞）=0.1587，‎ ‎∴P（≤X≤）=1﹣2×0.1587=0.6826‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．命题“”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．‎ C． D．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定．‎ ‎【解答】解：∵命题：“”是特称命题，‎ ‎∴特称命题的否定是全称命题得“”的否定是：“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（　　）‎ A．在处取得最大值 B．在处取得最大值 C．在处取得最大值 D．无最大值 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，核对四个选项得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．[1，+∞）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴q⇒p成立，但p⇒q不成立，‎ 即a+2≤﹣1，‎ 即a≤﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由kx+y+1﹣k=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，斜率为﹣k，分别求出kBC，kAC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，‎ ‎∴直线过定点C（1，1），‎ 又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），‎ 讨论临界点：‎ 当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，‎ kBC=﹣k==，‎ 结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]；‎ 当直线l经过A点（2，﹣3）时，‎ kAC=﹣k==﹣4，‎ 结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）．‎ 综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）．‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）‎ A．16 B． C．32 D．48‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，由此能求出该多面体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，‎ 且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，‎ ‎∴该多面体的体积：‎ V=SABC×AA1==16．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0与直线ax+y﹣1=0的相交所得弦长为2，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．‎ ‎【解答】解：圆的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，所以圆心坐标为（1，4），由点到直线的距离公式得：‎ d==1，解得a=﹣，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（　　）‎ A．30 B．70 C．90 D．﹣150‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数．‎ ‎【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•（﹣2x）r，‎ ‎∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（﹣2）2+C51•（﹣2）=70，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】设双曲线的一条渐近线为y=，把y=代入圆（x﹣2）2+y2=4，并整理，得，，进而可得，由此能够求出该双曲线的实轴长．‎ ‎【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y=，‎ 把y=代入圆（x﹣2）2+y2=4，‎ 并整理，得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得a2=1，‎ ‎∴2a=2．‎ 故该双曲线的实轴长为2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知多项式x3+x10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a2=（　　）‎ A．32 B．42 C．46 D．56‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】由条件利用x3+x10=[﹣1+（x+1）]3+[﹣1+（x+1）]10，即可求得a2的值．‎ ‎【解答】解：∵多项式x3+x10=[﹣1+（x+1）]3+[﹣1+（x+1）]10=a0+a1（x+1）+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，‎ ‎∴a2=﹣=42，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．已知椭圆x2+ky2=2k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），由椭圆x2+ky2=2k（k＞0）化为=1，可得2k﹣2=1，解出k，即可得出．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），‎ 由椭圆x2+ky2=2k（k＞0）化为=1，‎ ‎∴2k﹣2=1，‎ 解得k=，‎ ‎∴a2=3，‎ ‎∴==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置）‎ ‎13．某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有　11　株．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，利用频率=，即可求出对应的值．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图知，在区间[100，104）内的频率为0.02×4=0.08，频数为4，‎ 所以样本容量为=50；‎ 所以在区间[112，116]内的频率为1﹣（0.02+0.075+0.1）×4=0.22，‎ 频数为50×0.22=11，即有11株．‎ 故答案为：11．‎ ‎　‎ ‎14．供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据如表提供的数据（其中=0.7，y=x+），用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程　y=0.7x+0.35　．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】‎ 由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵由题意知=4.5， =3.5，‎ ‎=0.7， =3.5﹣3.15=0.35‎ ‎∴要求的线性回归方程是y=0.7x+0.35，‎ 故答案为：y=0.7x+0.35．‎ ‎　‎ ‎15．如图，是一程序框图，则输出结果为　　．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】按照框图的流程写出前5次循环的结果，直到满足判断框中的条件为止，执行输出结果即可．‎ ‎【解答】解：按照框图的流程得到 经过第一次循环得到的结果为 过第二次循环得到的结果为 ‎ 经过第三次循环得到的结果为 ‎ 经过第四次循环得到的结果为 经过第五次循环得到的结果为此时输出s 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为　84　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，可从4种不同的花先选再排，分这三类来列出结果，求和即可得到．‎ ‎【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；‎ 种三种花有2A43种种法；‎ 种四种花有A44种种法．‎ 共有A42+2A43+A44=84．‎ 故答案为：84．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题6小题共70分，请写出必要的解答过程）‎ ‎17．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 总计 ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ ‎（Ⅰ）试判断是否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；‎ 附：‎ K2=‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ P（K2≥k0）‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（Ⅱ）为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据公式计算K2，对照数表即可得出概率结论；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样法求出抽取的男、女生数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为K2=≈2.057，‎ 且2.057＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是=，‎ 则抽取女生为30×=4人，‎ 抽取男生为15×=2人；‎ 抽取的分别记为a、b、c、d、E、F（其中E、F为男生），‎ 从中任取2人，共有15种情况：ab，ac，ad，aE，aF，‎ bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF；‎ 其中至少有1名是男生的事件为aE，aF，‎ bE，bF，cE，cF，dE，dF，EF，有9种；‎ 故所求的概率为P==．‎ ‎　‎ ‎18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p x y ‎（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q（p＜q）的值；‎ ‎（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由对立事件概率计算公式能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，求出P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，由此列出方程组能求出结果．‎ ‎（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：‎ P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．‎ ‎∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，‎ ‎∴，‎ 解得p=，q=．‎ ‎（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，‎ P（ξ=1）=+（1﹣）×+（1﹣）×（1﹣）×=，‎ P（ξ=2）=++（1﹣）×=，‎ ‎∴Eξ=0×=．‎ ‎　‎ ‎19．设数列{an}的前n项和，数列{bn}满足bn=log2an，cn=an+bn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由数列递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得bn=，cn=an+bn=2n+n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}的前n项和，‎ 当n=1时，a1=S1=2，‎ ‎∴当n≥2时，Sn﹣1=2n﹣2，‎ ‎∴an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，‎ 当n=1时，成立，‎ ‎∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为：an=2n；‎ ‎（2）bn=，‎ 由cn=an+bn=2n+n，‎ 数列{cn}的前n项和Tn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn ‎=（2+22+23+…+2n）+（1+2+3+…+n）‎ ‎=+=2n+1﹣2+，‎ 故数列{cn}的前n项和Tn=2n+1﹣2+．‎ ‎　‎ ‎20．已知，‎ ‎（1）求出f（x）图象的对称中心的坐标；‎ ‎（2）△ABC三个内角A、B、C所对边为a、b、c，若f（A）+1=0，b+c=2．求a的最小值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得f（x）图象的对称中心的坐标；‎ ‎（2）根据f（A）+1=0，求解出A，利用余弦定理建立关系，根据基本不等式求a的最小值．‎ ‎【解答】解：，‎ 化简可得：f（x）=cos2x﹣sin2x﹣=cos（2x+）‎ ‎（1）令2x+=+kπ，解得x=，k∈Z ‎∴f（x）的对称中心为：（，0），‎ ‎（2）由（1）可知f（x）=cos（2x+）‎ ‎∵f（A）+1=0，即cos（2A+）+1=0，‎ ‎∴cos（2A+）=﹣1．‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴＜2A+＜‎ ‎∴2A+=π，∴A=‎ ‎∵b+c=2，∴b2+c2=（b+c）2﹣2bc=4﹣2bc 由余弦定理，可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1．‎ 当且仅当b=c=1时，a取得最小值1．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．‎ ‎（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．‎ ‎（2）设出平面BED1F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：‎ 则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）‎ ‎∴=（﹣3，3，3），=（3，0，﹣1）‎ ‎∴cosθ===﹣‎ 则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为 ‎（2）B（3，3，0），=（0，﹣3，2），=（3，0，﹣1）‎ 设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）‎ 由得 令x=1，则=（1，2，3）‎ 则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为 ‎||==‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆，一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（2）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=‎ ‎∴|MN|=×=‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为d=，‎ ‎∴△AMN的面积S=|MN|d=‎ ‎=|MN|d=××=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴=‎ ‎∴k=±．‎