【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-7函数的图象教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-7函数的图象教案

第七节　函数的图象 [考纲传真]　(教师用书独具)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． (对应学生用书第 21 页) [基础知识填充] 1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― →关于x轴对称 y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― →关于y轴对称 y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― →关于原点对称 y＝－f(－x)的图象； ④y＝a x(a＞0 且 a≠1)的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ―→关于直线y＝x对称 y＝log ax(a＞0 且 a≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变 y ＝af(x)的图象． (4)翻转变换 ①y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→x轴下方部分翻折到上方 x轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y轴右侧部分翻折到左侧 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f(|x|)的 图象． [知识拓展] 1．一个函数图象的对称关系 (1)函数 f(x)满足关系 f(a＋x)＝f(b－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a＋b 2 对称； (2)函数 f(x)满足关系 f(a＋x)＝－f(b－x)，则 f(x)的图象关于点 (a＋b 2 ，0)对 称． 2．两个函数图象的对称关系 (1)函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(1－x)的图象，可由 y＝f(－x)的图象向左平移 1 个单位得到．(　　) (2)函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称即函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称．(　　) (3)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝f(|x|)的图象与 y＝|f(x)|的图象相同．(　　) (4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对 称．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到两地的中点再 改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地．已知 甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图象表示，则如图 2­7­1 的四个函数图 象中，甲、乙的图象应该是(　　) ①　 　　②　　　　③　　 　④ 图 2­7­1 A．甲是图①，乙是图②　　　　 B．甲是图①，乙是图④ C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④ B　[设甲骑车速度为 V 甲骑，甲跑步速度为 V 甲跑，乙骑车速 度为 V 乙骑，乙跑步速度为 V 乙跑，依题意 V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选 B．] 3．函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称， 则 f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 D　[依题意，与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线是 y＝e－x，于是 f(x)相当于 y＝ e－x 向左平移 1 个单位的结果， ∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.] 4．(2017·全国卷Ⅰ)函数 y＝ sin 2x 1－cos x 的部分图象大致为(　　) 【导学号：79170038】 C　[令 f(x)＝ sin 2x 1－cos x ， ∵f(1)＝ sin 2 1－cos 1 ＞0，f(π)＝ sin 2π 1－cos π ＝0， ∴排除选项 A，D． 由 1－cos x≠0 得 x≠2kπ(k∈Z)， 故函数 f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝ sin(－2x) 1－cos(－x)＝－ sin 2x 1－cos x ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项 B． 故选 C．] 5．若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是________． (0，＋∞)　[在同一个坐标系中画出函数 y＝|x|与 y＝a－x 的图象，如图所 示．由图象知当 a＞0 时，方程|x|＝a－x 只有一个解．] (对应学生用书第 22 页) 作函数的图象 　作出下列函数的图象： (1)y＝(1 2 )|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2x－1 x－1 ；(4)y＝x2－2|x|－1. [解]　(1)先作出 y＝(1 2 )x 的图象，保留 y＝(1 2 )x 图象中 x≥0 的部分，再作 出 y ＝(1 2 )x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝(1 2 )|x|的图象， 如图①实线部分. 3 分 ①　　　　　　② (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. 6 分 (3)∵y＝2＋ 1 x－1 ，故函数图象可由 y＝1 x 图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图③. 9 分 ③　　　　　　　④ (4)∵y＝Error!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据 对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 12 分 [规律方法]　　画函数图象的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据 这些函数的特征直接作出； (2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称 得到，可利用图象变换作出． 易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． [变式训练 1]　分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. [解]　(1)∵y＝|lg x|＝Error! ∴函数 y＝|lg x|的图象，如图 ①. (2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝sin|x|为偶函数，图 象关于 y 轴对称，其图象如图 ②. 识图与辨图 　(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数 y＝1＋x＋sin x x2 的部分图象大致为(　　) (2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y＝f(x)的图象如图 2­7­2 所示，则 y＝－f(2－ x)的图象为(　　) 【导学号：79170039】 图 2­7­2 (1)D　(2)B　[(1)当 x→＋∞时，sin x x2 →0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋sin x x2 →＋∞， 故排除选项 B． 当 0＜x＜π 2 时，y＝1＋x＋sin x x2 ＞0，故排除选项 A，C． 故选 D． (2)法一：由 y＝f(x)的图象知， f(x)＝Error! 当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以 f(2－x)＝Error! 故 y＝－f(2－x)＝Error!图象应为 B． 法二：当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当 x＝1 时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选 B． 法三：先作 y＝f(x)的图象关于 y 轴的对称图形(作图过程略)，得到 y＝f(－x)的 图象，再把所得图象向右平移两个单位，得到 y＝f(2－x)的图象，再把所得图 象关于 x 轴对称得到 y＝－f(2－x)的图象，可知应选 B．] [规律方法]　　函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下 位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． [变式训练 2]　(1)已知函数 f(x)的图象如图 2­7­3 所示，则 f(x)的解析式可以是 (　　) 图 2­7­3 A．f(x)＝ln|x| x B．f(x)＝ex x C．f(x)＝1 x2 －1 D．f(x)＝x－1 x (2)(2016·河南平顶山二模)函数 y＝a＋sin bx(b＞0 且 b≠1)的图象如图 2­7­4 所 示，那么函数 y＝logb(x－a)的图象可能是(　　) 图 2­7­4 (1)A　(2)C　[(1)由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B，C．若函数 为 f(x)＝x－1 x ，则 x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D，故选 A． (2)由题图可得 a＞1，且最小正周期 T＝2π b ＜π，所以 b＞2，则 y＝logb(x－a)是 增函数，排除 A 和 B；当 x＝2 时，y＝logb(2－a)＜0，排除 D，故选 C．] 函数图象的应用 角度 1　研究函数的性质 　已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) C　[将函数 f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝Error!画出函数 f(x)的图象，如 图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且 在(－1,1)上单调递减．] 角度 2　确定函数零点的个数 　已知 f(x)＝Error!则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点个数是 ________． 5　[方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝1 2 或 1.作出 y＝f(x)的图象， 由图象知零点的个数为 5.] 角度 3　求参数的值或取值范围 　已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的 实根，则实数 k 的取值范围为(　　) A．(0，1 2)　　　　　 B．(1 2 ，1) C．(1,2) D．(2，＋∞) B　[先作出函数 f(x)＝|x－2|＋1 的图象，如图所示，当直线 g(x)＝kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为1 2 ，故观察图象可知 f(x)＝g(x) 有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(1 2 ，1)]． 角度 4　求不等式的解集 　函数 f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图 2­7­5 所 示，那么不等式 f(x) cos x ＜0 的解集为________． 【导学号： 79170040】 图 2­7­5 (－π 2 ，－1)∪(1，π 2)　[在(0，π 2)上，y＝cos x＞0，在(π 2 ，4)上，y＝cos x＜0. 结合 f(x)的图象知在(1，π 2)上 f(x) cos x ＜0， 因为 f(x)为偶函数，y＝cos x 也是偶函数， 所以 y＝ f(x) cos x 为偶函数， 所以 f(x) cos x ＜0 的解集为(－π 2 ，－1)∪(1，π 2).] [规律方法]　　函数图象应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质： ①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极 值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性． ③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与 x 轴的交点情况，分析函数的零点等． (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化 为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形 结合求解． (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象 可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数 形结合求解．