2019届二轮复习第3讲　数列不等式的证明问题(选用)课件（25张）（全国通用）

2019届二轮复习第3讲　数列不等式的证明问题(选用)课件（25张）（全国通用）

第 3 讲　数列不等式的证明问题 ( 选用 ) 高考定位　 1. 数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题； 2. 主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质； 3. 重点考查学生逻辑推理能力和创新意识 . 真 题 感 悟 记函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ ( x ＋ 2)ln(1 ＋ x )( x ≥ 0). 证明 　 (1) 用数学归纳法证明： x n ＞ 0. 当 n ＝ 1 时， x 1 ＝ 1 ＞ 0. 假设 n ＝ k ( k ≥ 1 ， k ∈ N * ) 时， x k ＞ 0 ， 那么 n ＝ k ＋ 1 时，若 x k ＋ 1 ≤ 0 ，则 0 ＜ x k ＝ x k ＋ 1 ＋ ln(1 ＋ x k ＋ 1 ) ≤ 0 ，矛盾，故 x k ＋ 1 ＞ 0 ， 因此 x n ＞ 0( n ∈ N * ). 所以 x n ＝ x n ＋ 1 ＋ ln(1 ＋ x n ＋ 1 ) ＞ x n ＋ 1 ， 因此 0 ＜ x n ＋ 1 ＜ x n ( x ∈ N * ). (2) 由 x n ＝ x n ＋ 1 ＋ ln(1 ＋ x n ＋ 1 ) 得， 函数 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞) 上单调递增，所以 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 0 ， (3) 因为 x n ＝ x n ＋ 1 ＋ ln(1 ＋ x n ＋ 1 ) ≤ x n ＋ 1 ＋ x n ＋ 1 ＝ 2 x n ＋ 1 ， 1. 数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) 时命题成立； (2)( 归纳递推 ) 假设 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N * ) 时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立 . 考 点 整 合 2. 反证法 一般地，由证明 p  q 转向证明： 綈 q  r  …  t ， t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 . 3. 放缩法 放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证 A < B ，可先将 A 放大到 C ，然后只需证明 C < B 即可 . 而 a 1 ＝ a >0 ，所以 a n >0 ， 下面用数学归纳法证明： ① 因为 a >0 且 a ≠1 ，所以 a 2 <1 ， ② 假设当 n ＝ k ( k ≥ 2 ， k ∈ N * ) 时，有 a k < a k ＋ 1 <1 ， 综上，对任意 n ≥ 2 ，均有 a n < a n ＋ 1 <1 成立 . (2) 若 a k ≥ b ，则由 (1) 知当 k ≥ 2 时， 1> a k ＋ 1 > a k ≥ b ； 探究提高 　 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题 . 因此，可以在数列不等式的证明中大显身手 . 在本例中， (1) 首先根据条件等式的结构特征推出 a n >0 ，然后用数学归纳法证明即可； (2) 首先由 (1) 知当 k ≥ 2 时， 1> a k ＋ 1 > a k ≥ b ，然后利用数列的递推公式证明即可 . 所以 a n ＋ 2 < a n ＋ 1 <2. (2) 法一 　假设存在 a N ≤ 1( N ≥ 1 ， N ∈ N * ) ， 由 (1) 可得当 n > N 时， a n ≤ a N ＋ 1 <1. 由假设可得 a N ＋ n － 1<0 ， 这显然与 (*) 矛盾 . 所以 a n >1( n ∈ N * ). 法二　 假设存在 a N ≤ 1( N ≥ 1 ， N ∈ N * ) ， 由 (1) 可得当 n > N 时， 0< a n ≤ a N ＋ 1 <1. 由 (1) 可得 1 － a n <1 ， 这显然与 (*) 矛盾 . 所以 a n >1( n ∈ N * ). ∴ a n ＋ 1 ≥ a n ≥ 3 ， ∴ ( a n － 2) 2 >0 ， ∴ a n ＋ 1 > a n . (3) ∵ 2( a n ＋ 1 － 2) ＝ a n ( a n － 2) ， 探究提高 　 数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是： ① 放缩成等比数列求和形式； ② 放缩成裂项求和形式 . 数列、不等式是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点之一 . 命题方式灵活，对学生的数学思维要求较高，具有良好的高考选拔功能 . 数列中不等式的证明，是浙江省高考数学试题的特色，解决问题方法独特，需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题 .