【数学】2020届一轮复习（文）通用版7-2一元二次不等式及其解法学案
第二节一元二次不等式及其解法
一、基础知识批注——理解深一点
1．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0).
在不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)中，
如果二次项系数a<0，可根据不
等式的性质，将其转化为正数.
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1
0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x10(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>0.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
(二)选一选
1．不等式2x2－x－3>0的解集为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由2x2－x－3＝(2x－3)(x＋1)>0，得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集为.故选B.
2．若集合M＝{x|x2＋5x－14<0}，N＝{x|10且Δ＝a2－4a≤0，得00的解集是，则a＋b的值是________．
解析：由题意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，
则解得
所以a＋b＝－14.
答案：－14
考法(一) 不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
[解题技法]
1．解一元二次不等式的4个步骤
2．求解不含参数的一元二次不等式口诀
函数方程不等式，图象交点是标志；
首项系数先化正，判别式，符号定；
若为正，记口诀，小于中间大于侧；
或为负，或为零，配方观察解自明．
考法(二) 含参数的一元二次不等式
[典例] 解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0.
所以当a＞1，即<1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1，即>1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[解题技法]
1．解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
2．求解含参数一元二次不等式的分类歌诀
含参二次不等式，有无实根判别式；
或为负，或为零，配方法，解自明；
若为正，求两根，两种题型要区分；
首项系数无参数，根的大小定胜负；
首项系数含参数，先论系数零正负；
系数化一是旨要，负数变换不等号．
[题组训练]
1．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D.
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是
( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析：选A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
3．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
考法(一) 在R上的恒成立问题
[典例] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[解析] 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－20(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
考法(二) 在给定区间上的恒成立问题
[典例] 若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
[解析] 法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3，故选A.
法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A.
[答案] A
[解题技法]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即
已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
考法(三) 给定参数范围求x范围的恒成立问题
[典例] 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围．
[解] 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即
解得x<2或x>4，
综上可知，使原不等式恒成立的x的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[解题技法]
给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[题组训练]
1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．[－3,0) D．[－4，＋∞)
解析：选A x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，令f(x)＝x2－4x，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取到最小值，为－3，∴实数m的取值范围是(－∞，－3]，故选A.
2．若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－0的解集为{x|－30的解集为( )
A.
B.
C．{x|－32}
解析：选A 由题意得解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)(2x＋1)<0，所以解集为，故选A.
5．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[2，－∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
解析：选D 由关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，得对应方程x2－ax－a＋3＝0有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，解得a≥2或a≤－6，所以a的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.
6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
7．存在x∈[－1,1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m的最大值为( )
A．1 B.
C. D．－1
解析：选C 若对于任意x∈[－1,1]，不等式x2＋mx－3m<0恒成立，则由函数f(x)＝x2＋mx－3m的图象可知解得m>.所以若存在x∈[－1,1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m≤，所以m的最大值为.故选C.
8．(2018·北京东城区期末)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆[1,3]，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D．[－1,3]
解析：选A 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆[1,3]，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，
若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，
即a2－a－2<0，解得－1x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0a，由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a0，解不等式得x2≤，
所以－ ≤x≤ ，
所以3≤ <4，所以9≤<16，即45≤a<80，
所以实数a的取值范围是[45,80)．
答案：[45,80)
12．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
答案：[－8,4]
13．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有
解得00，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，所以a＝，
所以不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－<0.
解得－
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