甘肃省武威市第十八中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

甘肃省武威市第十八中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

2019—2020 学年第一学期第一次月考试卷 高二数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式： 完成计算. 【详解】因为 ，所以结果为 ， 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，难度较易.常见的二倍角余弦公式有： . 2.函数 的最小正周期是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由题； ， . 考点：三角函数的恒等变形（两角和差公式）及函数性质。. 3.若 , ,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 2 2cos 30 sin 30−  1 2 1 2 − 3 2 3 2 − 2 2cos sin cos2α α α− = 2 2 1cos 30 sin 30 cos60 2 − = ° =  1 2 2 2 2 2cos sin 2cos 1 1 2sin cos2α α α α α− = − = − = ( ) sin 2 cos2f x x x= − π 2 π 2π 4π ( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x π= − = − tan 3α = 4tan 3 β = tan( )α β− = 3 3− 1 3 1 3 − 故选 4.已知 中 ，则 等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 ，所以 ，又因为 ，所以 或 ，故选 D. 5.在 中， ， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件利用正弦定理： 求解 的值. 【详解】因为 ，所以有 ，则 ， 故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.在 中，有 ( 是 外接圆半径). 6.已知在 中， ，那么 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A ( ) 43tan tan 13tan 41 tan tan 31 3 3 α βα β α β −−− = = =+ + × C ABC∆ 4, 4 3, 30a b A= = =  B 60 60 120 30 30 150 sin sin a b A B = 14 3sin 32sin 4 2 b AB a × = = = b a> 060B = 0120 ABC∆ 1a = 30A =  60B =  b 3 2 1 2 3 sin sin a b A B = b sin sin a b A B = 1 sin30 sin 60 b=° ° 3b = ABC∆ 2sin sin sin a b c RA B C = = = R ABC∆ ABC△ : : 3: 2: 4sinA sinB sinC = cosC 1 4 − 1 4 2 3 − 2 3 【解析】 【详解】 ，不妨设 ，, 则 ，选 A. 7.等差数列 的前 项和 ，若 ，则 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 假 设 公 差 为 , 依 题 意 可 得 . 所 以 .故选 C. 考点：等差数列的性质. 【此处有视频，请去附件查看】 8.已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由 得 ，解得 . 考点：等差数列. 【此处有视频，请去附件查看】 9.数列 1， ， ， ， ，…的一个通项公式 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式. : : sin :sin :sin 3: 2: 4a b c A B C= = 3 , 2 , 4a k b k c k= = = ( ) ( ) ( )2 2 23 2 4 1cos 2 3 2 4 k k kC k k + −= = −× × { }na n nS 1 32, 12a S= = 6a = d 13 2 3 2 12, 22 d d× + × × = ∴ = 6 2 (6 1) 2 12a = + − × = { }na nS { }na n 8 44S S= 10a = 17 2 19 2 10 12 8 44S S= ( )1 18 28 4 4 6a d a d+ = + 1 10 1 1 19, 92 2a a a= = + = 2 3 3 5 4 7 5 9 na 2 1 n n + 2 3 n n + 2 3 n n − 2 1 n n − 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为 .故选 D. 【点睛】本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易 得出正确的选项.属于基础题. 10.在△ABC 中，若 2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三 角形 【答案】C 【解析】 ∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且 2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0．∴A＝B． 11.在△ABC 中， ， ，且△ABC 的面积 ，则边 BC 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 7 【答案】C 【解析】 因 为 △ABC 中 ， ， ， 且 △ABC 的 面 积 ， ，即 BC= . 选 C. 12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的 1， 3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2） 中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ） 2 1n na n = − 60A∠ = ° 2AB = 3 2ABCS∆ = 7 3 60A∠ = ° 2AB = 3 1 sin2 2ABCS bc A∆ = = 1b∴ = 2 2 2 2 cos 3 3a b c bc A a∴ = + − = ∴ = 3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 记三角形数构成的数列为 ，计算可得 ；易知 ．据此确定复合题意 的选项即可. 【详解】记三角形数构成 数列为 ， 则 ， ， ， ，…， 易得通项公式为 ； 同理可得正方形数构成的数列 的通项公式为 ． 将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得 都为正整数的只有 ． 故选 C． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上）． 13.在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 的 289 1024 1225 1378 { }na ( )1 2n n na += 2 nb n= { }na 1 1a = 2 3 1 2a = = + 3 6 1 2 3a = = + + 4 10 1 2 3 4a = = + + + ( )11 2 3 2n n na n += + + + + = { }nb 2 nb n= n 2 49 501225 35 2 ×= = { }na 1 1a = 1 2n na a+ = + na = 2 1n − 根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式. 【详解】因为 ，所以 ，所以 是等差数列且公差 ，又 ， 所以 ，所以 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两 种：定义法、等差中项法. 14.已知在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ，若 ，则角 B 的值 为 ． 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 由 余 弦 定 理 将 变 形 为 考点：余弦定理 15.在等差数列 中， 是方程 的两个根，则 __________。 【答案】3 【解析】 ∵ 是方程 的两个根 ∴ ∴ 16.△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A= ，cos C= ，a=1，则 b=___. 【答案】 【解析】 试题分析：因为 ，且 为三角形的内角，所以 ， 的 1 2n na a+ = + 1 2n na a+ − = { }na 2d = 1 1a = ( )1 2 1na n= + − 2 1na n= − 2 1n − , ,a b c 2 2 2 3a c b ac+ − = 6 π 2 2 2 3a c b ac+ − = 2 2 2 3 3cos2 2 2 6 a c b B Bac π+ − = ∴ = ∴ = { }na 3 10,a a 2 3 5 0x x− − = 5 8a a+ = 3 10,a a 2 3 5 0x x− − = 3 10 3a a+ = 5 8 3 10a a 3a a+ = + = 4 5 5 13 21 13 4 5cos ,cos5 13A C= = ,A C 3 12sin ,sin5 13A C= = ， 又 因 为 ，所以 . 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理 都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以 上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 【此处有视频，请去附件查看】 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分，解答时应写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤） 17.已知函数 ． （1）求 的最小正周期． （2）求 在区间 上的最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值 等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先利用倍 角 公 式 将 降 幂 ， 再 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 将 化 简 ， 使 之 化 简 成 的形式，最后利用 计算函数的最小正周期；（Ⅱ）将 的取值范围代入，先求出 的范围，再数形结合得到三角函数的最小值. 试题解析：（Ⅰ）∵ ， ∴ 的最小正周期为 . （Ⅱ）∵ ，∴ . 63sin sin[ ( )] sin( ) sin cos cos sin 65B A C A C A C A Cπ= − + = + = + = sin sin a b A B = sin 21 sin 13 a Bb A = = ( ) 2sin 2 3sin 2 xf x x= − ( )f x ( )f x 20, 3 π     2π 3− 2sin 2 x ( )f x ( ) sin( )f x A x Bω ϕ= + + 2T π ω= x 3x π+ ( ) sin 3 cos 3 2sin( ) 33f x x x x π= + − = + − ( )f x 2π 20 3x π≤ ≤ 3 3x π π π≤ + ≤ 当 ，即 时， 取得最小值. ∴ 在区间 上的最小值为 . 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 【此处有视频，请去附件查看】 18.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 ， 的值. 【答案】(1) (2) ， . 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，将 中 边全部变成角即可求出角 的大小； （2）根据正弦定理，将 变成边的关系代入余弦定理，求出 值，进而可求 出 的值. 【详解】解：（1）∵ ，由正弦定理可得 ， 因为 ，得 ， 又 ∴ . （2）∵ ，由正弦定理得 ， 由余弦定理 ，得 ， 解得 ， ∴ . 【点睛】本题考查利用正弦定理进行角化边，边化角，以及余弦定理， 基础题. 19.已知下面数列 的前 项和 ，求 的通项公式： （1） ； 的 是 3x π π+ = 2 3x π= ( )f x ( )f x 2[0, ]3 π 2( ) 33f π = − ABC∆ A B C a b c sin 3 cosb A a B= B 3b = sin 2sinC A= a c 3B π= 3a = 2 3c = sin 3 cosb A a B= B sin 2sinC A= a c sin 3 cosb A a B= sin sin 3sin cosB A A B= sin 0A ≠ tan 3B = (0,B π∈ ） 3B π= sin 2sinC A= 2c a= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 29 4 2 2 cos 3a a a a π= + − ⋅ 3a = 2 2 3c a= = { }na n nS { }na 22 3nS n n= − （2） . 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用 ，并验证 是否符合 的情况，以此求解通项公式； （2）利用 ，并验证 是否符合 的情况，以此求解通项公式. 【详解】（1） ， 当 时， ， 由于 也适合此等式， ∴ . （2）当 时， ； 当 时， . 当 时， ， 所以 . 【点睛】已知数列前 项和 求解 时，可先根据 计算出 时 的通项公式，然后验证 是否符合 的情况，由此决定数列通项是否需要分段书写. 20.在等差数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 项和 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 分析】【 3 1n nS = + 4 5na n= − 1 4, 1 2 3 , 2n n na n− ==  ⋅ ≥ ( )1 2n n na S S n−= − ≥ 1n = 2n ≥ ( )1 2n n na S S n−= − ≥ 1n = 2n ≥ 1 1 2 3 1a S= = − = − 2n ≥ ( ) ( ) ( )22 1 2 3 2 1 3 1n n na S S n n n n−  = − = − − − − −  4 5n= − 1a 4 5na n= − 1n = 1 1 3 1 4a S= = + = 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 3 1 3 1 2 3n n n n n na S S − − −= − = + − + = ⋅ 1n = 1 1 12 3 2 a−× = ≠ 1 4, 1 2 3 , 2n n na n− ==  ⋅ ≥ n nS na ( )1 2n n na S S n−= − ≥ 2n ≥ 1n = 2n ≥ { }na 1 1a = 3 3a = − { }na { }na k 35kS = − k 3 2na n= − 7k = （1）根据条件求解出等差数列的公差 ，然后可写出 的通项公式； （2）先求解前 项和 的公式，然后令 求解出 的值. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 . 由 ， ，可得 ，解得 . 从而 . （2）由（1）可知 ， 所以 . 由 ，可得 ，即 ， 解得 或 .又 ，故 . 【点睛】本题考查等差数列通项公式求解以及前 项和 的公式运用，难度较易.已知等差 数列前 项和求解对应项数时，可通过直接代入前 项和公式求解对应的项数. d { }na n nS 35kS = − k { }na d ( )1 1na a n d+ −= 1 1a = 3 3a = − 1 2 3d+ = − 2d = − ( ) ( )1 1 2 3 2na n n= + − × − = − 3 2na n= − ( ) 21 3 2 22n n nS n n + −  = = − 35kS = − 22 35k k− = − 2 2 35 0k k− − = 7k = 5k = − *k N∈ 7k = n nS n n