数学（理）卷·2018届黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（理）‎ ‎ 说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．已知命题，则命题的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ）‎ A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2‎ ‎3.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5.与二进制数相等的十进制数是（ ）‎ A．6 B．7 ‎ C．10 D．11‎ ‎6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别 为63,98，则输出的（ ）‎ A．9 B．3 C．7 D．14‎ ‎7.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，‎ 数得落在椭圆内的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（ ）‎ A．11 B．9 ‎ C．12 D．10‎ ‎10.某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）‎ A．10 B．11 ‎ C．12 D．13‎ ‎11.命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．过点作圆的弦,其中最短的弦长为__________ . ‎ ‎14．若向量，且，则等于 .‎ ‎15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为 .‎ ‎16．已知圆，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线，分别交于两点，求.‎ ‎18.(本小题满分12分) ‎ 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：‎ 商店名称 销售额（千万元）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额（千万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．‎ 附：线性回归方程中，，.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 如图，三棱柱中，平面，，，．以，为邻边作平行四边形，连接和．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知抛物线 ，过点作直线，交抛物线于两点，为坐标原点，‎ ‎（Ⅰ）求证： 为定值；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最小值.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为 ‎，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若在椭圆：上的点处的切线方程是．‎ 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；‎ ‎（Ⅲ）记点为（Ⅱ）中直线恒过的定点，问是否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由. ‎ 大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（理）参考答案 一、‎ BDBAA CBDBC DC 二、‎ ‎13. 14. 6 15. 16.[0,2]‎ 三、‎ ‎17．（1） 由,有曲线的普通方程为. ‎ 把, 代入,得,化简得，曲线的极坐标方程. ——————5分 ‎（2）依题意可设.因为曲线的极坐标方程为,将代入曲线的极坐标方程得,解得.同理将曲线的极坐标方程得.所以.——————10分 ‎18. （1）设回归直线的方程是：，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴对销售额的回归直线方程为：；——————8分 ‎（2）当销售额为4（千万元）时，利润额为：（千万元）. ———12分 ‎19.（1）由题意得，所以；‎ ‎ ——————4分 ‎（2）由直方图，得：第3组人数为：人，‎ 第4组人数为：人，‎ 第5组人数为：人，‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组：人，‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎，‎ ‎，‎ 其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：，共5种，所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为．——————12分 ‎20.（1）连结，三棱柱中且， ‎ 由平行四边形得且 且 ‎ 四边形为平行四边形， ‎ 平，平面 ‎ 平面 ——————6分 ‎（2）由，四边形为平行四边形得，底面 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎， ， ‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 即，令，则，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 直线与平面所成角的正弦值为. ——————12分 ‎21.证明：（Ⅰ）设过点的直线：，‎ 由得，‎ 令，∴ ‎ ‎∴为定值。 ——————6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，原点到直线的距离 ‎ ‎∴‎ 当时，三角形的面积最小，最小值是 ——————12分 ‎22.（Ⅰ）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为． ——————3分 ‎（Ⅱ）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点M，即，，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点． ——————3分 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得 所以，不妨设，‎ ‎，同理， 12分 所以 即， ——————12分 ‎(此问也可用参数方程求解)‎