2019届二轮复习（文）第九章第9节　圆锥曲线的综合问题学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）第九章第9节　圆锥曲线的综合问题学案（全国通用）

第9节　圆锥曲线的综合问题 最新考纲　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．‎ 知 识 梳 理 ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，‎ 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；‎ Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·|y1－y2|＝·．‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 ‎(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．‎ ‎(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(　　)‎ ‎(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.(　　)‎ 解析　(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切．‎ ‎(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切．‎ ‎(5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ ‎2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．‎ 答案　A ‎3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对 称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．‎ 答案　C ‎4．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.∪ 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.‎ 答案　C ‎5．已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为 ．‎ 解析　由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，‎ ‎|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝202－2|PF1|·|PF2|，‎ 解得|PF1|·|PF2|＝128，‎ 所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.‎ 答案　64‎ ‎6．(2018·宁波检测)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当m＝ 时，△FAB的周长最大，此时△FAB的面积是 ．‎ 解析　设椭圆＋＝1的右焦点为F′，则F(－1，0)，F′(1，0)．由椭圆的定义和性质易知，当直线x＝m过F′(1，0)时△FAB的周长最大，此时m＝1，把x＝1代入＋＝1得y2＝，y＝±，S△FAB＝|F1F2 AB|＝×2×3＝3.‎ 答案　1　3‎ 第1课时　直线与圆锥曲线 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【例1】 (2018·温州模拟)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.‎ ‎(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；‎ ‎(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．‎ 解　(1)∵A(1，2)在抛物线上，∴p＝2.‎ 设C，则由kABkAC＝－1，得t＝6，即C(9，6)．‎ ‎(2)设A(x0，y0)，B，C，‎ 则直线BC的方程为(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，‎ 由kABkAC＝·＝－1，‎ 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2，‎ 代入直线BC的方程，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，‎ 故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)，‎ 因此直线AE的方程为y＝－(x－x0)＋y0，‎ 代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，‎ 得点D的坐标为.‎ 因为线段AD总被直线BC平分，‎ 所以 解得x0＝，y0＝±p，‎ 即点A的坐标为.‎ 规律方法　研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用．但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解．‎ ‎【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．‎ 解　(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，‎ 又点P(0，1)在曲线C1上，‎ ‎∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 因为直线l与椭圆C1相切，‎ 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.‎ 整理得2k2－m2＋1＝0.①‎ 由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.‎ 因为直线l与抛物线C2相切，‎ 所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②‎ 综合①②，解得或 所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.‎ 考点二　弦长问题 ‎【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.‎ 规律方法　有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：‎ 涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎【训练2】 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．‎ ‎ ‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．‎ 解　(1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，‎ 得|m|＜.( )‎ ‎∴|CD|＝2＝2＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－mx＋m2－3＝0，‎ 由根与系数关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝.‎ 由＝，得＝1，解得m＝±，满足( )．‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.‎ 考点三　中点弦问题 ‎【例3】 设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线．‎ ‎(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．‎ 解　(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)．‎ 再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，‎ 所以轨迹C的方程为x2＋＝1(x≠1)．‎ ‎(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知 两式相减，得 ‎4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，‎ 将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，‎ ＝－代入上式得k＝－.‎ 又点P在弦MN的垂直平分线上，‎ 所以y0＝－k＋m.‎ 所以m＝y0＋k＝y0.‎ 由点P在线段BB′上(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示)，‎ 所以yB′＜y0＜yB，也即－＜y0＜.‎ 所以－＜m＜，且m≠0.‎ 规律方法　处理中点弦问题常用的求解方法 ‎(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．‎ ‎(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．‎ ‎【训练3】 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为 ．‎ 解析　(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，‎ 所以直线AB的方程为y＝(x－3)，‎ 代入椭圆方程＋＝1消去y，‎ 得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，‎ 所以AB的中点的横坐标为＝1，‎ 即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，‎ 则 由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，‎ 显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，‎ ‎∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，‎ ‎∴y0＝－3x0.‎ 又∵y0＝x0＋m，∴P，‎ 代入抛物线方程得m2＝18·，‎ 解得m＝0或－8，经检验都符合．‎ 答案　(1)D　(2)0或－8‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)‎ A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 解析　∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条．‎ 答案　B ‎2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．1或2 D．0‎ 解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．‎ 答案　A ‎3．抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，‎ ‎∴x＝时， dmin＝.‎ 答案　B ‎4．(2018·宁波调研)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)‎ A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.‎ 答案　B ‎5．已知A，B，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设A(x1，y1)，P(x2，y2)根据对称性，得B点坐标为 ‎(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，‎ 所以两式相减，得kPAkPB＝＝，‎ 所以e2＝＝，故e＝.‎ 答案　D ‎6．(2018·绍兴调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点M(p，0)的直线交抛物线于A，B两点，若＝2，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．与p有关 解析　由题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－p)，代入y2＝2px，消y得k2x2－(2k2p＋2p)x＋k2p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1>x2，则x1·x2＝p2　①.‎ ‎∵＝2，∴(p－x1，－y1)＝2(x2－p，y2)，∴p－x1＝2(x2－p)，∴x1＝－2x2＋3p　②，由①②得x1＝2p，x2＝，∴＝＝.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为 ．‎ 解析　由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ ‎8．已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于 ．‎ 解析　由题设知p＝＝2，∴a＝.‎ 抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.‎ 联立消去x，‎ 整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，‎ ‎∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.‎ 答案　8‎ ‎9．(2018·嘉兴测试)过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 ；此弦的长为 ．‎ 解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减得＋＝0.‎ 又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，‎ ‎∴kAB＝＝－.‎ ‎∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．‎ 即3x＋4y－13＝0.由消去y整理得13x2－78x＋105＝0，x1＋x2＝6，x1x2＝，|AB|＝|x1－x2|＝＝·＝.‎ 答案　3x＋4y－13＝0　 ‎10．(2018·金华十校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为 时，|AF|＋4|BF|取得最小值．‎ 解析　由题意，设|AF|＝m，|BF|＝n，则＋ ‎＝＝1，‎ ‎∴m＋4n＝(m＋4n)＝5＋＋≥9，‎ 当且仅当m＝2n时，m＋4n的最小值为9，‎ 设直线的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x.‎ 化简后为：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有x1x2＝1，x1＋x2＝2＋.‎ 根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，‎ ‎∴x1＋1＝2(x2＋1)，联立可得k＝±2.‎ 答案　±2 三、解答题 ‎11．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．‎ ‎(1)求E的离心率；‎ ‎(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．‎ 解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，‎ 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，‎ l的方程为y＝x＋c，其中c＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，‎ 所以E的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.‎ 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，‎ 得c＝3，从而a＝3，b＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎12．(2018·杭州模拟)如图，设点A，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左顶点和左、右焦点，过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，连接BF2并延长交椭圆于点C.‎ ‎(1)求点B的坐标(用k表示)；‎ ‎(2)若F1C⊥AB，求k的值．‎ 解　(1)设点B(xB，yB)，直线AB的方程为y＝k(x＋2)，‎ 联立＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，‎ ‎∴－2xB＝，即xB＝，‎ ‎∴yB＝k(xB＋2)＝，即B.‎ ‎(2)易知F2(1，0)，kBF2＝，kCF1＝－，‎ ‎∴直线BF2，CF1方程分别为y＝(x－1)，‎ y＝－(x＋1)，‎ 由解得C(8k2－1，－8k)，‎ 代入＋＝1，得192k4＋208k2－9＝0，‎ 即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，得k2＝，‎ 所以k＝±.‎ 能力提升题组 ‎13．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析　由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，‎ 所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.‎ 由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.‎ 答案　D ‎14．抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵双曲线C2：－y2＝1，‎ ‎∴右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.‎ 抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′.‎ 设M(x0，y0)，则y0＝x.‎ ‎∵kMF′＝kFF′，∴＝.①‎ 又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②‎ 由①②得p＝.‎ 答案　D ‎15．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ．‎ 解析　直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6，4)．‎ 由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.‎ 答案　8‎ ‎16．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．‎ 解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，‎ 或M(－2，a)，N(2，a)．‎ 又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，‎ 即x－y－a＝0.‎ y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.‎ 故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.‎ ‎(2)存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.‎ 将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.‎ 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋ ‎＝＝.‎ 当b＝－a时，有k1＋k2＝0，‎ 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．‎ ‎17．(一题多解)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B.证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ 法一　(1)解　　由抛物线定义可得：|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.‎ ‎∴抛物线E的方程为y2＝4x；‎ ‎(2)证明　∵点A(2，m)在抛物线E上，‎ ‎∴m2＝4×2，解得m＝±2，不妨取A(2，2)，‎ ‎∵F(1，0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，联立消y得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或，B.又G(－1，0)，‎ ‎∴kGA＝＝，kGB＝＝－，‎ ‎∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF，∴x轴平分∠AGB，‎ 因此点F到直线GA，GB的距离相等，‎ ‎∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ 法二　(1)同法一．‎ ‎(2)证明　点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，‎ 解得m＝±2，不妨取A(2，2)．‎ ‎∵F(1，0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，‎ 联立，化为2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或，B.‎ 又G(－1，0)，可得直线GA，GB的方程分别为：2x－3y＋2＝0，2x＋3y＋2＝0，点F(1，0)到直线GA的距离d＝＝，‎ 同理可得点F(1，0)到直线GB的距离＝.‎ 因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎