2018届二轮复习数学思想方法学案（全国通用）

2018届二轮复习数学思想方法学案（全国通用）

专题22 数学思想方法 函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．‎ 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。‎ 因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。‎ 分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．‎ 预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．‎ 化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．‎ 一、函数与方程思想 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．‎ ‎1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．‎ ‎2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．‎ 可用函数与方程思想解决的相关问题．‎ ‎1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：‎ ‎(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；‎ ‎(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．‎ ‎2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：‎ ‎(1)解方程或解不等式；‎ ‎(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；‎ ‎(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；‎ ‎(4)构造方程或不等式求解问题．‎ 二、数形结合的数学思想 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。‎ 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：‎ 数形结合思想解决的问题常有以下几种：‎ ‎(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；‎ ‎(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；‎ ‎(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；‎ ‎(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；‎ ‎(5)构建立体几何模型研究代数问题；‎ ‎(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；‎ ‎(7)构建方程模型，求根的个数；‎ ‎(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．‎ 常见适用数形结合的两个着力点是：‎ 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.‎ 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。‎ 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。‎ ‎1．数形结合的途径 ‎（1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）‎ 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。。‎ 常见方法有：‎ ‎①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。‎ ‎②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。‎ ‎③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。‎ ‎（2）通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。‎ 常见的转换途径为：‎ ‎①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。‎ ‎②利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。‎ ‎（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。‎ ‎（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。‎ ‎2．数形结合的原则 ‎（1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。‎ ‎（2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。‎ 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。‎ ‎（3）简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。‎ 三、分类讨论的思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．‎ ‎1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．‎ ‎2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．‎ ‎3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．‎ ‎4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．‎ ‎5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．‎ ‎6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．‎ 四、化归与转化的思想 ‎1、化归与转化的思想方法 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．‎ ‎2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．‎ ‎3、等价转化和非等价转化 转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．‎ 考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题 例1．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(1，2]‎ ‎【解析】由题意f(x)的图象如右图，则 ‎∴1＜a≤2. ‎ ‎【变式探究】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)‎ A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x 考点二、运用函数与方程思想解决方程问题 例2、设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝‎2f(a)的a取值范围是(　　)‎ A. B．[0，1]‎ C. D．[1, ＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【规律方法】‎ 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由 解得b′＝－，－－(－4)＝，‎ 所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点．选D.‎ 考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题 例3．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ ‎【规律方法】‎ ‎(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法． ‎ ‎(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数． ‎ ‎(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋‎8c在x＝1及x＝2时取到极值．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若对于任意的x∈[0，3]都有f(x)0；‎ 当12时，f′(x)>0.‎ 所以此时1与2都是极值点，‎ 因此a＝－3，b＝4，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋‎8c.‎ ‎(2)由(1)知函数y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋‎8c，在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋‎8c.‎ 因为f(0)＝‎8c，f(3)＝9＋‎8c，‎ 所以当x∈[0，3]时，函数y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋‎8c，所以要使对于任意的x∈[0，3]都有f(x)0，解得c<－1或c>9.‎ 考点四、运用函数与方程思想解决最优化问题 例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为‎5千米和‎40千米，点N到l1，l2的距离分别为‎20千米和‎2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．‎ ‎ (1)求a，b的值；‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；‎ ‎②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．‎ 解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．‎ 将其分别代入 y＝，得 解得 ‎(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，‎ 则点P的坐标为，‎ ‎【规律方法】‎ 解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决． ‎ ‎【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎(1)试写出y关于x的函数关系式．‎ ‎(2)当m＝‎640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ ‎【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，‎ 即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋‎2m－256.‎ ‎【小结反思】‎ ‎1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．‎ ‎2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．‎ ‎3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．‎ 考点五、 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题 例5、(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是(　　)‎ A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 ‎(2)设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．‎ 思路点拨：(1)在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝lg x的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数．‎ ‎(2)先将不等式f(x)≤g(x)转化为≤x＋1－a，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝和y＝x＋1－a的图象，移动y＝x＋1－a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系．‎ 解析：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数． ‎ 由图象可知共9个交点，故选C.‎ ‎(2)f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1，‎ 变形得≤x＋1－a，‎ 令y＝，①‎ y＝x＋1－a，②‎ 误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误．‎ ‎【规律方法】‎ ‎(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． ‎ ‎(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．‎ ‎(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．‎ ‎【变式探究】已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．‎ ‎【答案】－8.‎ 考点六、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题 例6、 (1)已知x，y满足条件＋＝1，求y－3x的最大值与最小值．‎ ‎(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z＝的值域．‎ 思路点拨：(1)令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．‎ ‎(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围．‎ ‎【解析】(1)令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆＋＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．‎ 由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆＋＝1相切时，有最大或最小的截距．‎ 将y＝3x＋b代入＋＝1，‎ 由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，‎ zmax＝＝5.‎ 过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．‎ 设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a＞0，‎ 解得因此zmin＝.‎ 综上可知函数的值域为.‎ 误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝得到点(－1，－3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序．‎ ‎【规律方法】‎ 如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：‎ ‎(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．‎ ‎(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．‎ ‎(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．‎ ‎(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．‎ 只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．‎ ‎【变式探究】已知x，y满足条件＋＝1，求5x＋4y的最大值与最小值．‎ 考点七、根据数学的概念分类讨论 例7、设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．‎ 思路点拨：先利用0＜x＜1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小．‎ ‎【规律方法】‎ 本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三种情况；直线的斜率分倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数[y＝ax(a＞0且a≠1)与y＝logax(a＞0且a≠1)]可分为a＞1，0＜a＜1两种类型；直线的截距式分直线过原点时[为y＝kx]，不过原点时等．‎ 考点八、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论 例8、在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 思路点拨：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通项公式．‎ ‎(2)先求{bn}的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论． ‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由a2n＝2an得a2＝‎2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.‎ 又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，‎ ‎【规律方法】‎ ‎(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论． ‎ ‎(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．‎ 考点九、根据字母的取值情况分类讨论 例9、已知函数f(x)＝2x3－3x.‎ ‎(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；‎ ‎(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；‎ ‎(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)?‎ ‎【解析】(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，‎ 所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.‎ ‎(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，‎ 则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，‎ 因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得：4x－6x＋t＋3＝0，‎ 设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”， ‎ ‎【规律方法】‎ 题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．‎ 考点十、根据图形位置或形状变动分类讨论 例10、长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.‎ 思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模．‎ y＝4，‎ 可得Q，R，‎ 这时|QR|＝ ；‎ 当4＜t≤8时，Q，R两点分别在BC，AD上，‎ 对方程①分别令y＝0和y＝4，‎ 可得Q，R，‎ 这时|QR|＝.‎ 综上所述：当0≤t≤8－4时，|QR|＝2；‎ 当8－4＜t≤4时，|QR|＝ ；‎ 当4＜t≤8时，|QR|＝.‎ ‎【规律方法】‎ 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等． ‎ ‎【小结反思】‎ ‎1．分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结．‎ ‎2．简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等．‎ ‎3．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不漏不重”． ‎ ‎4．解题时把好“四关”． ‎ ‎(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；‎ ‎(2)要找准划分标准，把好“分类关”；‎ ‎(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；‎ ‎(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”．‎ 考点十一、 数列问题化归为函数问题解决 例11、某厂2016年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是(　　)‎ A．M>N　　　　　　　　B．M

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