2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编

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‎2015版人教A版必修2课本例题习题改编 ‎1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．‎ 正视图 侧视图 俯视图 改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）‎ ‎（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；‎ ‎（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；‎ ‎（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．‎ 俯视图 正视图 侧视图 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．‎ ‎（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．‎ 由于底面的高为1，所以．‎ 故所求全面积 ‎　　　　　　．‎ 这个几何体的体积 ‎（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．‎ 在中，，故．‎ 第 12页 共 12页 正视图 侧视图 俯视图 ‎2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．‎ 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．‎ ‎（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；‎ ‎（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．‎ 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．‎ ‎（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）．‎ 所以所求表面积，‎ 所求体积．‎ ‎3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。‎ 改编 已知直角三角形，其三边分为,（）.分别以三角形的边，边，边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为和,则它们的关系为 ( )‎ ‎., ., ‎ ‎ ., ., ‎ 解：, , ‎ ‎, 选B.‎ ‎4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：‎ 第 12页 共 12页 解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．‎ ‎5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）‎ 改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为的直线共有 12 对.‎ 改编2 如图正方体中，，为底面中心，以所在直线为旋转轴，线段形成的几何体的正视图为（ ）‎ 第 12页 共 12页 解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.‎ ‎6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？‎ 改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）‎ 解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.‎ ‎7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）‎ A．不存在 　　 B．只有1个 C．恰有4个 　　　D．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.　　‎ ‎8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.‎ 改编 如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。‎ A B C A ‎1‎ B ‎1‎ C ‎1‎ 解：液体部分的体积为三棱锥体积的，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的 第 12页 共 12页 ‎，设空出三棱锥的高为x，则=，所以，x=,液面高度为1.‎ ‎9.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？‎ ‎(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值.‎ 改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______.‎ ‎(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.‎ ‎（1） （2） （3）‎ 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.‎ ‎ ‎ ‎（6） （7）‎ ‎10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面，且是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论. ‎ 改编 如图，已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求证：平面 第 12页 共 12页 ‎；（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．‎ 解：（Ⅰ）因为，所以．同理．又，故平面．‎ ‎（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四边形中，，所以．故平面平面．‎ ‎11.原题（必修2第90页习题3.2B组第一题）已知点,点在轴上，且为直角,求点的坐标.‎ 改编：已知点,在轴上，若为锐角，则点的横坐标的取值范围是 解： 用向量的数量积判别：，易求答案为或 ‎12.原题（必修2 第100页习题3.2 A组第三题）已知，，求线段的垂直平分线的方程.‎ 改编1 已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为（1，1），∴直线的方程是即，故选（B）.‎ 改编2 已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .‎ 解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段 第 12页 共 12页 的垂直平分线，由改编1可得直线的方程为.‎ 改编3 求点关于直线的对称点的坐标.‎ 解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.‎ ‎13.原题（必修2第100页习题3.2A组第九题）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.‎ 改编1 求过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 .‎ 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.‎ 改编2 直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.‎ 解:依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.‎ ‎14.原题（必修2第101页习题3.2B组第五题）若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l的斜率.‎ 改编： 若直线l沿x轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为 .‎ ‎15.原题（必修2第110页习题3.3B组第七题）已知AO是边BC的中线，求证：.‎ 改编 已知在三角形ABC中，D是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= ‎ 解: .‎ ‎16.原题（必修2第110页习题3.3B组第八题）已知求证：.‎ 改编 长方形ABCD的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P是坐标平面上的动点，若AP2+BP2+CP2+DP2的值最小，则点P的位置在( )‎ A.长方形的顶点处 B.AB边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形ABC的重心处 第 12页 共 12页 解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x2+y2+(x-a) 2+y2+(x-a) 2+(y-b) 2+x2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a2+b2‎ 当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C.‎ ‎17.原题（必修2 第114页复习参考题A组第3题）求直线与坐标轴围成的三角形的面积.‎ 改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .‎ 解：设所求直线方程为，依题意有，‎ ‎∴（无解）或，解得或.‎ ‎∴直线的方程是或.‎ 改编2（2006年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 .‎ 解：设直线的方程为，‎ 则，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.‎ 改编3 已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.‎ 解：设，则直线的方程为.令得，∴‎ ‎，当且仅当即时取等号，∴当为（2，8）时，三角形面积最小.‎ ‎18.原题（必修2第115页复习参考题B组第七题）设，求证：对于任意.‎ 改编 设，a,b,c,d为常数，其中，对于任意实数 , .‎ 解:可设A（a，b），B（c，d），C（x，2x+3），由 第 12页 共 12页 ‎，知A，B在直线y=2x+3两侧，=.‎ ‎19.原题（必修2第129页例3）改编 若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .‎ 解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.‎ ‎20.原题（必修2第130页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m根铁索的长度f(m)= _______米.‎ 解：10.5.‎ ‎21.原题（必修2第132页习题4.2 A组第三题）求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.‎ 改编1 （2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（ ）‎ A.或 B.或 C.或 D.或 解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选（A）.‎ 改编2 （2006年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为 .‎ 解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.‎ 改编3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.‎ 解：设所求圆的方程为，则，‎ 第 12页 共 12页 解得或，∴圆的方程为或.‎ ‎22.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？‎ 改编 某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 ‎ 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）‎ 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.‎ ‎∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.‎ ‎∴圆的方程是. 令，得.‎ 故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.‎ ‎23.原题（必修2第133页习题4.2A组第九题）求圆与圆的公共弦的长.‎ 改编 两圆C1 ：x2+ y2-1=0和C2：x2+ y2-8x+12=0的公切线长为_______.‎ 解：‎ C1 ：x2+ y2=1，C2：（x-4）2+ y2 = 4， |C1 C2|=4‎ 图（1）：|AB|==；图（2）：|AB|==，即公切线长和.‎ ‎24.原题（必修2第133页习题4.2B组第2题）已知点,点在圆上运动，求的最大值和最小值.‎ 改编1 已知点,点坐标满足，求的最大值和最小值.‎ 解：设点的坐标是，则 第 12页 共 12页 ‎ ‎ 要求的最值，即求点与点距离的最值；因为点坐标满足，所以的最大值为，则的最小值0在点与点重合时取得，‎ 改编2 已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .‎ 解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.‎ ‎25.原题（必修2第133页习题4.2B组第3题）已知圆x2+y2=4，直线l: y=x+b.当b为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线的距离都等于1.‎ 改编 已知圆x2+y2=4, 直线l: y=x+b. 圆上至少有三个点到直线l的距离都是1，则b 的取值范围是_____. ‎ 解：‎ ‎26.原题（必修2第144页复习参考题B组第2题）已知点与两个定点，距离的比是一个正数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑和两种情形）.‎ 改编1 已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ） A. B. C. D.‎ 解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选B.‎ 改编2 由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .‎ 解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.‎ 改编3 （2006年四川卷）已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第 12页 共 12页 解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选（B）.‎ 改编4（2003年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.‎ 解：设动点的坐标为.由，得，‎ 化简得.‎ 当时，化简得，整理得；‎ 当时，化简得.‎ 所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.‎ ‎27.原题（必修2第144页复习参考题B组第3题）求由曲线围成的图形的面积.‎ 改编 由曲线围成的图形的面积为_______.‎ 解：围成的图形如图，面积为.‎ 第 12页 共 12页