2014年高考试题——数学理（安徽卷）原卷版

2014年高考试题——数学理（安徽卷）原卷版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试卷 第 卷（选择题 共 50 分） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）设i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数. 若 ,1 iz  则 z izi    （ ） A. 2 B. i2 C. 2 D. i2 （2）“ 0x ”是“ 0)1ln( x ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 （4）以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度 单位，已知直线l 的参数方程是 1 3 xt yt    （t 为参数），圆C 的极坐标方程是  cos4 ，则直线 被圆 截得的弦长为（ ） A. 14 B. 142 C. 2 D. 22 （5） yx, 满足约束条件       022 022 02 yx yx yx ，若 axyz  取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数 a 的值为（ ） A, 12 1 或 B. 2 12或 C.2 或 1 D. 12 或 （6）设函数 ))(( Rxxf  满足 .sin)()( xxfxf  当  x0 时， 0)( xf ，则 )6 23( f （ ） A. 2 1 B. 2 3 C.0 D. 2 1 （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A.21+ 3 B.18+ C.21 D.18 （8）.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60 的共有（ ） A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 （9）.若函数 ( ) 1 2f x x x a    的最小值为 3，则实数a 的值为（ ） A.5 或 8 B. 1 或 5 C. 1 或 4 D. 4 或 8 （10）.在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 , , 1, 0,a b a b a b    点 Q 满足 2( )OQ a b.曲线 { cos sin ,0 2 }C P OP a b        ，区域 { 0 , }P r PQ R r R      .若C  为两段分离的 曲线，则( ) A.13rR   B.13rR   C. 13rR   D.13rR 第  卷（非选择题 共 100 分） 二. 选择题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）若将函数   sin 2 4f x x  的图像向右平移 个单位，所得图像关于 y 轴对称， 则 的最小正 值是________. （12）数列{}na 是等差数列，若 1 3 51, 3, 5a a a   构成公比为 q 的等比数列，则 q  ________. （13）设 na ,0 是 大 于 1 的自然数， n a x     1 的展开式为 n nxaxaxaa  2 210 . 若点 )2,1,0)(,( iaiA ii 的位置如图所示，则 ______a . （14）设 21,FF 分别是椭圆 )10(1: 2 2 2  bb yxE 的左、右焦点，过点 1F 的直线交椭圆 E 于 BA, 两点， 若 xAFBFAF  211 ,3 轴，则椭圆 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量 ,,ba 两组向量 54321 ,,,, xxxxx 和 54321 ,,,, yyyyy 均由 2 个 a 和 3 个b 排 列而成.记 5544332211 yxyxyxyxyxS  ， minS 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题 的是_________（写出所有正确命题的编号）. ① 有 5 个不同的值. ②若 ,ba  则 与 a 无关. ③若 ,ba∥ 则 与 b 无关. ④若 ab 4 ，则 0min S . ⑤若 2 min| | 2 | |, 8| |b a S a，则 与 的夹角为 4  三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内. （16）（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 ,,ABC所对边的长分别是 ,,a b c ，且 3, 1, 2 .b c A B   （1）求 a 的值； （2）求sin( )4A  的值. （17）（本小题满分 12 分） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多 者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结果相互独立. (1) 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； (2) 记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）. （19）（本小题满分 12 分） 设函数 23( ) 1 (1 )f x a x x x     ,其中 0a  . （1） 讨论 ()fx在其定义域上的单调性； （2） 当 [0,1]x 时，求 取得最大值和最小值时的 x 的值. (19)(本小题满分 13 分) 如图，已知两条抛物线  02: 11 2 1  pxpyE 和  02: 22 2 2  pxpyE ，过原点O 的两条直线 1l 和 2l ， 与 21,EE 分别交于 21, AA 两点， 2l 与 21,EE 分别交于 21,BB 两点. (1)证明： ;// 2211 BABA (2)过原点 作直线l （异于 ， ）与 分别交于 21,CC 两点.记 111 CBA 与 222 CBA 的面积分别为 1S 与 2S ,求 2 1 S S 的值. （20）(本题满分 13 分) 如图，四棱柱 1111 DCBAABCD  中， AA1  底面 ABCD .四边形 为梯形， BCAD // ,且 BCAD 2 . 过 DCA ,,1 三点的平面记为 ， 1BB 与 的交点为Q . （1）证明： 为 的中点； （2）求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比； （3）若 4 ， 2CD ，梯形 ABCD 的面积为 6，求平面 与底面 所成二面角大小. （21） （本小题满分 13 分） 设实数 0c ，整数 1p ， *Nn . （I）证明：当 1x 且 0x 时， pxx p  1)1( ； （II）数列 na 满足 pca 1 1  ， p nnn ap cap pa    1 1 1 ，证明： p nn caa 1 1   .