高考数学专题复习练习：考点规范练43

高考数学专题复习练习：考点规范练43

考点规范练43　圆的方程 ‎　考点规范练A册第33页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2016全国甲卷,文6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎4‎‎3‎ B.-‎3‎‎4‎ C.‎3‎ D.2‎ 答案A 解析因为圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).‎ 由点到直线的距离公式,得d=‎|a+4-1|‎a‎2‎‎+1‎=1,‎ 解得a=-‎4‎‎3‎,故选A.‎ ‎2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)‎ A.2 B.1 C.‎3‎ D.‎‎2‎ 答案B 解析设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[‎(x-0‎)‎‎2‎+(y-0‎‎)‎‎2‎]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.‎ ‎3.已知三点A(1,0),B(0,‎3‎),C(2,‎3‎),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎21‎‎3‎ C.‎2‎‎5‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎ 答案B 解析由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎x-‎‎1‎‎2‎,它与x=1联立得圆心P坐标为‎1,‎‎2‎‎3‎‎3‎,则|OP|=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎21‎‎3‎.‎ ‎4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4‎ C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1‎ 答案A 解析设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),‎ 则x=‎4+‎x‎0‎‎2‎,‎y=‎-2+‎y‎0‎‎2‎,‎解得x‎0‎‎=2x-4,‎y‎0‎‎=2y+2.‎ 因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=4,‎ 即(2x-4)2+(2y+2)2=4,‎ 化简得(x-2)2+(y+1)2=1.‎ ‎5.已知圆C的圆心在曲线y=‎2‎x上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.8〚导学号74920319〛‎ 答案C 解析设圆心的坐标是t,‎‎2‎t.‎ ‎∵圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+‎4‎t‎2‎,‎ ‎∴圆C的方程为(x-t)2+y-‎‎2‎t‎2‎=t2+‎4‎t‎2‎.‎ 令x=0,得y1=0,y2=‎4‎t,∴B点的坐标为‎0,‎‎4‎t;‎ 令y=0,得x1=0,x2=2t,∴A点的坐标为(2t,0),‎ ‎∴S△OAB=‎1‎‎2‎|OA|·|OB|=‎1‎‎2‎‎×‎‎4‎t×|2t|=4,‎ 即△OAB的面积为4.‎ ‎6.‎ 如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　; ‎ ‎(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　　. ‎ 答案(1)(x-1)2+(y-‎2‎)2=2　(2)-1-‎‎2‎ 解析(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,‎ 则△BPC为直角三角形,‎ 得|BC|=r=‎2‎=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-‎2‎)2=2.‎ ‎(2)由(1)得,C(1,‎2‎),B(0,‎2‎+1),则kBC=-1.‎ 圆C在点B处的切线方程为y=x+‎2‎+1,令y=0,得x=-‎2‎-1,即切线在x轴上的截距为-1-‎2‎.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.〚导学号74920320〛 ‎ 答案(x-1)2+y2=2‎ 解析因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d=‎(2-1‎)‎‎2‎+(-1-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎,所以半径最大时为r=‎2‎,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.‎ ‎8.(2016河北唐山一模)直线l:x‎4‎‎+‎y‎3‎=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则△OAB的内切圆的方程为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案(x-1)2+(y-1)2=1‎ 解析由直线方程x‎4‎‎+‎y‎3‎=1与x轴,y轴分别相交于点A,B,‎ 如图.‎ 设△OAB的内切圆的圆心为M(m,m).‎ 直线方程x‎4‎‎+‎y‎3‎=1可化简为3x+4y-12=0,‎ 由点M到直线l的距离等于m得‎|3m+4m-12|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=m,解得m=1.‎ 故△OAB的内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.‎ ‎9.(2016天津,文12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,‎5‎)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为‎4‎‎5‎‎5‎,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案(x-2)2+y2=9‎ 解析设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则‎|2a|‎‎5‎‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎,即a=2.又点M(0,‎5‎)在圆C上,则圆C的半径r=‎2‎‎2‎‎+5‎=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.‎ ‎10.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.‎ 解(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得‎4x‎0‎-2‎‎3-‎x‎0‎=1,则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2‎2‎,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.‎ ‎(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得 y‎0‎‎=-4x‎0‎,‎‎(3-x‎0‎‎)‎‎2‎+(-2-y‎0‎‎)‎‎2‎=r‎2‎,‎‎|x‎0‎+y‎0‎-1|‎‎2‎‎=r,‎解得x‎0‎‎=1,‎y‎0‎‎=-4,‎r=2‎2‎.‎ 因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2‎2‎,在y轴上截得线段长为2‎3‎.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为‎2‎‎2‎,求圆P的方程.‎ 解(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),由已知得‎|x‎0‎-y‎0‎|‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎.‎ 又P在双曲线y2-x2=1上,‎ 从而得‎|x‎0‎-y‎0‎|=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1,‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=-1.‎ 此时,圆P的半径r=‎3‎.‎ 由x‎0‎‎-y‎0‎=-1,‎y‎0‎‎2‎‎-x‎0‎‎2‎=1,‎得x‎0‎‎=0,‎y‎0‎‎=1.‎此时,圆P的半径r=‎3‎.‎ 故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.〚导学号74920321〛‎ 能力提升组 ‎12.若直线l过点P‎-3,-‎‎3‎‎2‎且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为(　　)‎ A.3x+4y+15=0 B.x=-3或y=-‎‎3‎‎2‎ C.x=-3 D.x=-3或3x+4y+15=0‎ 答案D 解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+‎3‎‎2‎=k(x+3),即kx-y+3k-‎3‎‎2‎=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为‎5‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎‎=‎‎3k-‎‎3‎‎2‎k‎2‎‎+1‎,解得k=-‎3‎‎4‎,此时直线方程为3x+4y+15=0.‎ ‎13.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)‎ A.5‎2‎-4 B.‎17‎-1‎ C.6-2‎2‎ D.‎17‎〚导学号74920322〛‎ 答案A 解析圆C1,C2的图象如图所示.‎ 设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1'(2,-3),连接C1'C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1'C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5‎2‎-4,故选A.‎ ‎14.(2016浙江,文10)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　　,半径是　　　　　. ‎ 答案(-2,-4)　5‎ 解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.‎ 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,‎ 即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;‎ 当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,‎ 即x+‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y+1)2=-‎5‎‎4‎不表示圆.‎ ‎15.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求AB的坐标;‎ ‎(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.‎ 解(1)设AB=(x,y),‎ 由|AB|=2|OA|,AB‎·‎OA=0,得x‎2‎‎+y‎2‎=100,‎‎4x-3y=0,‎ 解得x=6,‎y=8‎或x=-6,‎y=-8.‎ 若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.‎ ‎∴x=-6,‎y=-8‎舍去,即AB=(6,8).‎ ‎(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(‎10‎)2,其圆心为C(3,-1),半径r=‎10‎,‎ ‎∵OB‎=OA+‎AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),∴直线OB的方程为y=‎1‎‎2‎x.‎ 设圆心C(3,-1)关于直线y=‎1‎‎2‎x的对称点的坐标为(a,b),‎ 则b+1‎a-3‎‎=-2,‎b-1‎‎2‎‎=‎1‎‎2‎·a+3‎‎2‎,‎解得a=1,‎b=3,‎ 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.〚导学号74920323〛‎ 高考预测 ‎16.已知平面区域x≥0,‎y≥0,‎x+2y-4≤0‎恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　.〚导学号74920324〛 ‎ 答案(x-2)2+(y-1)2=5‎ 解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.‎ 因为△OPQ为直角三角形,‎ 所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=‎|PQ|‎‎2‎‎=‎‎5‎,‎ 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎