2019届二轮复习（理）第九章第53讲　两条直线的位置关系学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第九章第53讲　两条直线的位置关系学案（江苏专用）

第53讲　两条直线的位置关系 考试要求　1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(B级要求)；2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(B级要求)；3.两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.(2018·徐州模拟)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 .‎ 解析　直线x－2y－2＝0可化为y＝x－1，‎ 所以过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝x＋b，‎ 将点(1，0)代入得b＝－.‎ 所以所求直线方程为x－2y－1＝0.‎ 答案　x－2y－1＝0‎ ‎2.(教材改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝ .‎ 解析　依题意得＝1.‎ 解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.‎ 答案　－1‎ ‎3.(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝ .‎ 解析　由两直线垂直的充要条件得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.‎ 答案　0或1‎ ‎4.(必修2P94习题18改编)已知直线l：y＝3x＋3，那么：‎ ‎(1)直线l关于点M(3，2)对称的直线的方程为 ; ‎ ‎(2)l关于直线x＋y＋2＝0对称的直线的方程为 .‎ 答案　(1)y＝3x－17　(2)x－3y－1＝0‎ 知 识 梳 理 ‎1.两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.‎ ‎2.几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 P1P2＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ 考点一　两条直线的平行与垂直 ‎【例1】 (1)(2018·苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为 .‎ ‎(2)(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎①试判断l1与l2能否平行；‎ ‎②当l1⊥l2时，求a的值.‎ ‎(1)解析　由得 所以a＝.‎ 所以2a＋3b＝＋3b＝4＋＋3(b－3)＋9‎ ‎≥13＋2＝25(当且仅当＝3(b－3)，即b＝5时取等号).‎ 答案　25‎ ‎(2)解　①法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，‎ l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔解得a＝－1.‎ 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.‎ 法二　由A1B2－A2B1＝0，‎ 得a(a－1)－1×2＝0，‎ 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔⇒a＝－1，‎ 故当a＝－1时，l1∥l2.‎ ‎②法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，‎ l1与l2不垂直，故a＝1不成立；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；‎ 当a≠1且a≠0时，‎ l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由·＝－1⇒a＝.‎ 法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.‎ 规律方法　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ ‎【训练1】 若直线l1经过不同的两点A(2a＋2，0)，B(2，2)，l2经过不同的两点C(0，1＋a)，D(1，1).若l1∥l2，l1⊥l2时，分别求实数a的值.‎ 解　当a＝0时，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1).‎ 此时kAB不存在，而kCD＝0，所以l1⊥l2.‎ 当a＝－1时，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)，‎ kAB＝kCD＝1，又均过原点(0，0)，‎ 所以l1与l2重合.‎ 当a≠0且a≠－1时，‎ kAB＝＝－，‎ kCD＝＝－a.‎ 若l1∥l2，则kAB＝kCD，即－＝－a，‎ 得a＝1或a＝－1(舍去)；‎ 若l1⊥l2，则kAB·kCD＝－1，‎ 即×(－a)＝－1，a不存在.‎ 综上， 当a＝1时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2.‎ 考点二　两条直线的交点与距离问题 ‎【例2】 (1)(2018·宿迁模拟)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为 .‎ ‎(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为 .‎ 解析　(1)由得 ‎∴l1与l2的交点坐标为(1，3).‎ 设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，‎ 则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.‎ ‎∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.‎ ‎(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，‎ 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4).‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 答案　(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 规律方法　(1)求过两直线交点的直线方程的方法：‎ 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y 的系数化为相等.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 .‎ ‎(2)如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程.‎ ‎(1)解析　设P1P2的中点为P(x，y)，‎ 则x＝，y＝.‎ ‎∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.‎ ‎∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.‎ ‎∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，‎ ‎∴P到原点的距离d＝ ‎＝≥＝5.‎ 答案　5 ‎(2)解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.‎ 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过点(－1，1)，‎ ‎∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.‎ 解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.‎ 考点三　对称问题 ‎【例3】 (1)(2018·苏州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .‎ ‎(2)(2018·泰州模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程.‎ ‎(1)解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，‎ 即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 答案　x＋4y－4＝0‎ ‎(2)解　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.‎ 设对称点M′(a，b)，则 解得∴M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，则 由 得N(4，3).‎ 又∵m′经过点N(4，3).‎ ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ 规律方法　解决对称问题的方法 ‎(1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.‎ ‎【训练3】 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：‎ ‎(1)点P(4，5)关于l的对称点；‎ ‎(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；‎ ‎(3)直线l关于(1，2)的对称直线.‎ 解　(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，‎ ‎∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①‎ 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，‎ ‎∴3×－＋3＝0.②‎ 由①②得 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，‎ ‎∴P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7).‎ ‎(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，‎ 得关于l的对称直线方程为－－2＝0，‎ 化简得7x＋y＋22＝0.‎ ‎(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)关于(1，2)的对称点M′(x′，y′)，‎ ‎∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2，1).‎ l关于(1，2)的对称直线平行于直线l，∴k＝3，‎ ‎∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，‎ 即3x－y－5＝0.‎ 一、必做题 ‎1.(2018·常州模拟)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .‎ 解析　①若直线过原点，则k＝－，‎ 所以y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ ‎②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.‎ 答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ ‎2.(2018·泰州模拟)已知直线l1：x－2my＋3＝0，直线l2的方向向量为a＝(1，2)，若l1⊥l2，则m的值为 .‎ 解析　由直线l2的方向向量是a＝(1，2)，知直线l2的斜率为k2＝2.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝.‎ 由k1·k2＝－1，即·2＝－1，得m＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎3.(2018·山东省实验中学质检)从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 .‎ 解析　由直线与向量a＝(8，4)平行知过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式求得方程为x＋2y－4＝0.‎ 答案　x＋2y－4＝0‎ ‎4.一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是 .‎ 解析　点O(0，0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1，1)，则虫子爬行的最短路程为 O′A＝＝2.‎ 答案　2‎ ‎5.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为 .‎ 解析　因为＝≠，所以两直线平行，‎ 由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，‎ 即＝，所以PQ的最小值为.‎ 答案　 ‎6.(2018·苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ .‎ 解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，‎ 于是解得 故m＋n＝.‎ 答案　 ‎7.(2018·盐城模拟)正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，其他三边所在直线的方程分别为 、 、 .‎ 解析　点C到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝.‎ 设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，‎ 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，解得m＝－5(舍去)或m＝7，‎ 所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.‎ 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，‎ 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.‎ 答案　x＋3y＋7＝0　3x－y－3＝0　3x－y＋9＝0‎ ‎8.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，‎ ‎－1)的距离之和最小的点的坐标是 .‎ 解析　如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和为PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.‎ ‎∵A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，‎ ‎∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1).‎ 由得Q(2，4).‎ 答案　(2，4)‎ ‎9.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).‎ ‎(1)证明：对任意的实数λ该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ 证明　(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.‎ ‎∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ ‎∴解得故直线经过的定点为M(2，－2).‎ ‎(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQ≤PM，当且仅当Q与M重合时，PQ＝PM，‎ kPM＝－1，直线与PM垂直，‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ ‎∴M与Q不可能重合，而PM＝4，∴PQ<4，故所证成立.‎ ‎10.已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点.‎ ‎(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.‎ 解　(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∵点A(5，0)到l的距离为3，‎ ‎∴＝3，‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).‎ ‎∴dmax＝PA＝＝.‎ 二、选做题 ‎11.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为 .‎ 解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，‎ 建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b，3).‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.‎ Rt△ABC的面积S＝· ‎＝·＝ ‎≥＝6.当且仅当9a2＝，即a2＝4时取等号.‎ 答案　6‎ ‎12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.‎ 解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，即＝，‎ 又a＞0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝×，‎ 即c＝或，‎ 所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝×，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.‎ 联立方程 解得(舍去)；‎ 联立方程解得 所以存在点P同时满足三个条件.‎