数学卷·2018届广东省阳春市第一中学高二上学期第一次月考理数试题 （解析版）

数学卷·2018届广东省阳春市第一中学高二上学期第一次月考理数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在等差数列中，若，，则等于（　 ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列性质可得 考点：等差数列性质 ‎2.下列说法中，正确的是（ ）‎ A.数列 的第项为 B.数列 可记为 ‎ C.数列与数列 是相同的数列 D.数列 可表示为 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：B中数列记为，C中两数列各项顺序不同，是不同的数列； D中数列表示不能加大括号 考点：数列的表示 ‎3.在 中， ,, , 则 =( )‎ A. B.或 C. D.或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得或 考点：正弦定理解三角形 ‎4.在等比数列中，若，，则公比为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：等比数列通项公式 ‎5.在中，若，则的形状一定是( )‎ A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D.等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 三角形为等腰三角形 考点：正余弦定理解三角形 ‎6.已知等差数列的前项和为, ，，若取得最小值，则的值为（ ）‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：等差数列通项及求和 ‎7.等比数列的各项均为正数,且,则( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：对数运算及等比数列性质 ‎8.已知等差数列的前项和为，若,,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由构成等差数列可得，代入,可得 考点：等差数列性质 ‎9.在 中，,，，那么满足条件的个数有（ ）‎ A.不存在 B.不能确定 C.一个 D.两个 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由可知，所以B角有两个 考点：正弦定理解三角形 ‎10.在 中，,,则边上的高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由AB=3，，AC=4，根据余弦定理得：‎ ‎，又A∈（0，π），‎ 所以sinA=，则S△ABC=AB•ACsinA=，设AB边上的高为h，‎ 则S△ABC=AB•h=，解得：h=‎ 考点：解三角形 ‎11.已知等比数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以中 考点：等比数列通项公式 ‎12.已知函数，则 的值为（ ）‎ A.2014 B.2015 C.2016 D.2017‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：函数求值 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在相距千米的两出测量目标，若，求之间的距离是 千米. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为∠CAB=75°，∠CBA=60°，所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=450，‎ 由正弦定理得，，‎ 考点：正弦定理 ‎14.已知数列中，，则的值为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，公差为2，首项为 考点：数列求通项公式 ‎15.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最小角的余弦值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设三边为 ‎ 考点：余弦定理解三角形 ‎16.顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意和正弦定理可得a=2rsinA=，（r为△ABC外接圆半径1），‎ ‎∵sinA=，∴cosA=±，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，‎ 代入数据可得3=4±bc，解得bc=2，‎ ‎∴S△ABC=bcsinA=‎ 考点：余弦定理；正弦定理 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（10分）△中，角所对的边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求的值． （2）求的值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 方法2：因为，且是的内角，‎ 所以 ……………………………………………7分 根据正弦定理，，得……10分 考点：正余弦定理解三角形 ‎18.（12分）已知等比数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）若成等比数列，求值； （2）求的值． ‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由成等比数列可得，代入可得 值；（2）将已知条件，转化为来表示，解方程组可得到的值 试题解析：（1）因为成等比数列，所以 …………………………………………1分 因为，，所以 …………………………………………………2分 所以 ………………………………………………………………………………4分 ‎（2）设等比数列公比为 ‎①当时，，此时,满足题意; …………………………………6分 ‎②当时，依题意得…………………………………………………………8分 解得，综上可得或……………………………………………………12分 考点：等比数列通项公式及求和 ‎19.（12分）已知分别为内角,,的对边，且.‎ ‎（1）求的值． （2）若，的面积为，求，的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将已知条件可得到，进而可得到A值；（2）由余弦定理可得到b,c的关系，由面积公式可得到b,c的关系式，解方程组得到，的值 试题解析：（1）因为 所以 …………………………………………………………………2分 又因为，所以 ……………………………………………4分 因为，所以　 …………………………………………………6分 ‎（2）因为的面积==,所以=4 ……………………………………8分 由余弦定理 得=8 ……………………………………10分 联立，解得或 因为，所以 ………………………………………………………12分 考点：正余弦定理解三角形 ‎20.（12分）已知四棱锥的底面为平行四边形，，为中点．‎ ‎（1）求证:. （2）若，求证:.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设AC∩BD=H，连接EH，由平行四边形的性质结合题意证出MH为△PAC中位线，从而得到MH∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面MBD．（2）由线面垂直的定义证出PD⊥AD，结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线，可得BD⊥平面PAD 试题解析：（1）因为底面是平行四边形，所以点为的中点， ……………………………1分 ‎ 又为的中点，所以 ………………………………………………………3分 ‎ 因为，，所以. ………………………5分 ‎ ‎（2）因为平面，，所以………………………6分 因为，，，，‎ 所以平面 ………………………………………………………………………8分 因为，所以 ………………………………………………… 9分 因为平面，，所以 …………………… 10分 又因为，，，，‎ 所以平面. ……………………………12分 考点：线面平行垂直的判定与性质 ‎21.（12分）已知函数.数列是公差为的等差数列，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式. ‎ ‎（2）若为数列的前项和，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知函数式，代入可得到的值，从而得到通项公式；（2）中首先整理的值，将代入采用裂项相消法求和可证明不等式 试题解析：(1) 由已知可知………………2分 即：，解得 ………………………………4分 所以……………………5分 ‎(2)由(1)知 ……………………6分 则 …………………………………7分 所以 ‎ ‎……………………10分 ‎ ………………………11分 因为，所以.………………………………12分 考点：数列求通项公式求和 ‎22.（12分）已知正项数列的前项和为，数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列.‎ ‎（2）若的前项和.‎ ‎（3）在（2）条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 当 ②‎ ‎①-②得 … ……………………………………………2分 即 …………………………………………………………3分 因为，所以即 所以数列是以为首项为公差的等差数列 ………………………………………4分 ‎（2）依题意 所以 ……………………………………5分 ‎ ……………………………………6分 ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎, ② …………………………7分 ‎①—②得 ‎ …………………………9分 ‎（3）因为 ……………………………10分 所以要使数列为等比数列，当且仅当时 故存在，使为等比数列 ………………………………………………12分 考点：数列求通项公式及错位相减法求和 ‎ ‎