高中数学必修1教案：第三章（第6课时）等差数列的前n项和2

高中数学必修1教案：第三章（第6课时）等差数列的前n项和2

课 题：3.3 等差数列的前n项和（二）‎ 教学目的：‎ ‎1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.‎ ‎2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.‎ 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点：灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：     本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 首先回忆一下上一节课所学主要内容：‎ ‎1.等差数列的前项和公式1： ‎ ‎2.等差数列的前项和公式2： ‎ ‎3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 ‎4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:‎ （1） 利用:‎ 当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 （2） 利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 ‎ 二、例题讲解 ‎ 例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.‎ 解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*‎ ‎∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.‎ 即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列.‎ ‎∵=,∴==900.‎ 答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.‎ 例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和 分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}‎ 解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}‎ 由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,‎ ‎∴n可取0，1，2，3，…，32.‎ 即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.‎ 把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.‎ 它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.‎ 由=,得==1650.‎ 答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.‎ 例3已知数列是等差数列，是其前n项和，‎ 求证：⑴，-，-成等差数列；‎ ‎⑵设 （）成等差数列 证明：设首项是，公差为d 则 ‎∵‎ ‎ ∵∴‎ 是以36d为公差的等差数列 同理可得是以d为公差的等差数列.‎ 三、练习：‎ ‎1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.‎ 分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.‎ 解：根据题意，得=24, －=27‎ 则设等差数列首项为,公差为d,‎ 则 ‎ 解之得： ∴=3+2（n－1）=2n+1.‎ ‎2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列公差分别是, , 求与的值 ‎ 解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝;‎ ‎ ++……+＝7＝7×＝21, ‎ ‎++ ……+＝3×(1＋5)＝18, ‎ ‎ ∴ ＝.‎ ‎ 3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值 ‎ 解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24, ‎ ‎∴ ＝－24n＋＝[(n－)－], ‎ ‎ ∴ 当|n－|最小时，最小，‎ 即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.‎ ‎ 解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), ‎ 由≤0得n≤9且＝0, ‎ ‎∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.‎ ‎ 四、小结 本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列 五、课后作业：‎ ‎1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.‎ ‎ 解：由(n－2)·180＝100n＋×10，‎ 求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9, ‎ 当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8. ‎ ‎2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足 ‎(n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和.‎ 解：由题设知 ‎＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,‎ ‎ 即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm, ‎ ‎ ∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 ‎∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1,‎ ‎ ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n, ‎ ‎ 则 当n=1时，＝‎ 当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)‎ ‎＝‎ ‎∴＝‎ ‎ d==‎ ‎=‎ ‎ =‎ 数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列， ∴数列{}的前n项和为 n·()＋n(n－1)·()＝‎ ‎ 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.‎ ‎ 解：设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得, 解得d＝5.‎ 解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.‎ ‎ 4．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比 ‎ 解：.‎ ‎5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 ‎ 解：在等差数列中，‎ ‎, －, －, ……, －, －, 成等差数列，‎ ‎ ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，‎ ‎10＋·D＝＝10, 解得D＝－22‎ ‎ ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.‎ ‎6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围；‎ ‎(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由 ‎ 解：(1) , ‎ ‎∵ ＝＋2d＝12, 代入得 , ∴ －0, ∴ ＋>0,‎ ‎∴>0, 最大.‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎