高中数学第二章数列2-3等差数列的前n项和第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和达标检测含解析新人教A版必修5

高中数学第二章数列2-3等差数列的前n项和第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和达标检测含解析新人教A版必修5

数列的前n项和与等差数列的前n项和 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，已知a4＋a5＝12，则S8等于(　　)‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ 解析：由于a4＋a5＝12，故a1＋a8＝12，‎ 又S8＝，所以S8＝＝48.‎ 答案：D ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　)‎ A．1 B． C．2 D．3‎ 解析：因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2.‎ 答案：C ‎3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)‎ A．9 B．10 C．19 D．29‎ 解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．‎ 所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.‎ 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.‎ 所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．‎ 答案：B ‎4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ 解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.‎ 答案：B ‎5．(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得 - 5 -‎ 为整数的正整数n的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．14‎ 解析：由题意得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，‎ 由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3、5、15，‎ 因此，正整数n的可能取值有2、4、14.‎ 答案：ACD 二、填空题 ‎6．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 解析：设等差数列{an}公差为d，由题意可得：‎ 解得 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.‎ 答案：20‎ ‎7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．‎ 解析：设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，‎ 所以 解得 所以S6＝6a1＋d＝30.‎ 答案：30‎ 8． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则 a2 019＝________．‎ 解析：在等差数列{an}中，由S3＝2a3知3a2＝2a3，‎ 而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 019＝‎ - 5 -‎ ‎2 019.‎ 答案：2 019‎ 三、解答题 ‎9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ 解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.‎ ‎(2)由Sn＝na1＋ d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋·2，‎ 即n2＋11n－242＝0，‎ 解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.‎ ‎10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，‎ 公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，‎ 故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 又b1＝S1＝2，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ - 5 -‎ B级　能力提升 ‎1．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法错误的是(　　)‎ A．数列{an}的前n项和为Sn＝4n B．数列{an}的通项公式为an＝ C．数列{an}为递增数列 D．数列 解析：数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，‎ 所以Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0，化为：－＝4，‎ 所以数列是等差数列，公差为4，‎ 所以＝4＋4(n－1)＝4n，可得Sn＝，‎ 所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，‎ 所以an＝ 对选项逐一进行分析可得，A、B、C三个选项错误，D选项正确．‎ 答案：ABC ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝________．‎ 答案：100‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)依题意，得＝3n－2，‎ 即Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；‎ 当n＝1时，a1＝1也适合．‎ - 5 -‎ 即an＝6n－5.‎ ‎(2)由(1)得 bn＝＝＝，‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[＋＋…＋]＝＝.‎ - 5 -‎