数学理卷·2018届辽宁师大附中高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届辽宁师大附中高三上学期期中考试（2017

‎2017--2018年度上学期辽师附中高三年级期中考试 数学试卷（理）‎ 命题人：高三理科备课组 复查人：高三理科备课组 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（共 60 分）‎ 一、选择题（单选题，每小题6分，共60分）‎ ‎1、已知集合，集合，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数对应的点在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．C第三象限 D．第四象限 （　　）‎ ‎3.已知，则 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设l，m，n是空间三条互相不重合的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列结论中 ‎①当m Ì a，且n Ë a时，“n∥m”是“n∥α”的充要条件 ‎②当m Ì a时，“m⊥β”是“α^β”的充要条件 ‎③当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 ‎④当m Ì a且n是l在α内的射影时，“m⊥n”是“l⊥m”的充要条件 ‎ 正确的个数有 ( 　) ‎ ‎(A)1个      (B)2个     (C)3个      (D)4个   ‎ ‎5.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 （ ） ‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎6.为外心, 则的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 ‎ A． B． C． D．3 （　　）‎ ‎8.函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是 ‎ ‎（ 　 ）‎ A．a∈[0，6] B． C．a∈[﹣6，6] D．a∈[1，2] ‎ ‎9.函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） ‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎10.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且，，若球O的体积为，则棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎0‎ ‎11.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为 整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0,‎ 点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）‎ 处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点 ‎（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，‎ 则标签的格点的坐标为 ( ) ‎ A．(1005,1004) B．(1004.1003) ‎ C．(2009,2008) D．(2008,2007)‎ ‎12.设函数，若曲线上存在点使得成立则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（共 90 分）‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎13．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是______.‎ ‎14．定积分等于____________.‎ ‎15.若实数 满足 则的最小值为____．‎ ‎16.若数列满足且数列满足，则数列的最大项为第___项 三、解答题(本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)‎ ‎17（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．‎ ‎18（12分）已知数列{an}满足Sn=，等比数列{bn}满足b2=4，b4=16．‎ ‎（1）求数列{an}、数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当n≥2时，+2n﹣5≥k恒成立，求k的取值范围．‎ ‎19（12分）已知函数的部分图象如图所示：‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和对称中心坐标；‎ ‎（2）将f（x）的图象向左平移个单位，在将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y=g（x）在上的最大值和最小值．‎ ‎20.已知函数 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）数列{an}满足数列{an}是等差数列吗？请给予证明；‎ ‎（III），试比较Tn与Sn的大小．‎ ‎21（12分）如图，直三棱柱中，，，Q是AC上的点，平面．‎ ‎（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；‎ ‎（Ⅱ）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．‎ ‎22（12分）已知函数，（且）为定义域 上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，且，求证：.‎ ‎2017--2018年度上学期辽师附中高三年级期中考试 数学试卷答案 ‎1.A 2. B 3.C 4. B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12．D ‎13. 14. 15.8 16. 6‎ ‎17..【解答】解：（Ⅰ）由已知得，‎ 化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）‎ ‎=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3． 又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，‎ 所以a的取值范围是．‎ ‎18. （1）数列{an}满足Sn=，∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1时也满足，∴an=n．‎ 设等比数列{bn}的公比为q＞0，∵b2=4，b4=16．∴b1q=4， =16，解得b1=q=2，∴bn=2n．‎ ‎（2）an•bn=n•2n． 数列{an•bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n，‎ ‎2Tn=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，‎ ‎∴﹣Tn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1， ∴Tn=（n﹣1）•2n+1+2．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当n≥2时+2n﹣5≥k恒成立，等价于：k≤+2n﹣5（n≥2）恒成立． ∵n≥2时， +2n﹣5≥2=，当且仅当n=2时取等号．‎ ‎∴k≤，∴k的取值范围是．‎ ‎19.解：（1）由图象可知，又由于，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，得，‎ 所以f（x）的单调递增区间为，‎ 令，得，‎ 所以f（x）的对称中心的坐标为．‎ ‎（3）由已知的图象变换过程可得：，‎ 因为，所以，所以当，得时，g（x）取得最小值，‎ 当时，即x=0 g（x）取得最小值．‎ ‎20. 解析：（1）f(x)对任意 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ （2）数列{an}是等差数列 f(x)对任意x∈R都有 则令 ‎ ‎∴{an}是等差数列. ‎ ‎ （3）由（2）有 ‎∴Tn≤Sn… 该题也可用数学归纳法做.‎ ‎21. 因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1Ì平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，‎ A B C Q A1‎ B1‎ C1‎ P x y z 所以AB1∥PQ．因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，‎ 所以，Q为AC的中点． …4分 ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．‎ 设AB＝BC＝a，BB1＝b，则 面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)．‎ B(0，0，0)，C1(0，a，b)，Q(a，a，0)，‎ ‎＝(0，a，b)，＝(－a，a，b)．‎ 因QC1与面BC1C所成角的正弦值为，‎ 故＝＝，解得b＝a. …8分 设平面C1BQ的法向量n＝(x，y，z)，则 即取n＝(1，－，2)． …10分 所以有cosám，nñ＝＝．‎ 故二面角Q-BC1-C的余弦值为． …12分 ‎22. （Ⅰ），……………………………………………………1分 由为增函数可得，恒成立，‎ 则由，设，则，‎ 若由和可知, ‎ 在上减，在上增，在处取得极小值即最小值，‎ 所以，所以，，‎ 当时，易知， 当时，则，这与矛盾，‎ 从而不能使得恒成立，所以………………………………………3分 由可得，，即，‎ 由之前讨论可知，，‎ 当时，恒成立， 当时，，‎ 综上...................................................................................................................6分 ‎（II），‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 ‎ ‎ 所以，……………………………………..9分 令，，，‎ ‎ 在上增，在上减，‎ ‎，所以，‎ 整理得，‎ 解得或（舍），‎ 所以得证………………………………………………………….. 12分