【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和教案

【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和教案

高三 一轮复习 5.2 等差数列及其前n项和 ‎【教学目标】‎ ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．‎ ‎4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点理解等差数列的概念并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎ 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.‎ 真题再现;‎ ‎1． (2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎【解】　(1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a‎1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(‎2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的 等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 知识梳理 知识点1　等差数列 ‎1．定义an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．‎ ‎2．通项公式an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.‎ ‎3．前n项和公式Sn＝na1＋＝.‎ ‎4．a，b的等差中项A＝.‎ 知识点2　等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．‎ ‎(1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，‎ 则am＋an＝ap＋aq＝2ak.‎ ‎(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.‎ ‎(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…，也是等差数列．‎ ‎(5)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，‎ S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．‎ 名师点睛 1．必会结论 ‎(1)等差数列的增减性d＞0时为递增数列，且当a1＜0时，前n项和Sn有最小值，d＜0时为递减数列，且当a1＞0时，前n项和Sn有最大值．‎ ‎(2)数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件．‎ ‎(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.‎ ‎(4)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.‎ ‎2．必知联系；(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．‎ ‎(2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n ‎ ‎ 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ 考点分项突破 考点一等差数列的基本运算 ‎1．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．6‎ ‎【解析】　∵{an}为等差数列，∴‎2a4＝a2＋a6，∴a6＝‎2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.【答案】　B ‎2．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为__________．‎ ‎【解析】　设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.【答案】　5‎ 归纳　1．等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎2．等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝.‎ 考点二等差数列的判定与证明 ‎(1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．{an＋1－an}是等差数列 ‎ B．{bn＋1－bn}是等差数列 C．{an－bn}是等差数列 ‎ D．{an＋bn}是等差数列 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 环节二 ‎(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎①证明an＋2－an＝λ；‎ ‎②是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】　(1)对于A，∵an＝(n＋1)2，∴an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，∴cn＋1－cn＝2.∴{an＋1－an}是等差数列．故A正确．对于B，∵bn＝n2－n(n∈N*)，∴bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，∴cn＋1－cn＝2，∴{bn＋1－bn}是等差数列．故B正确．‎ 对于C，∵an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，∴an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝an－bn＝3n＋1，‎ ‎∴cn＋1－cn＝3，∴{an－bn}是等差数列．故C正确．‎ 对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，‎ cn＋1－cn不是常数．故D错误．【答案】　D ‎(2)①证明由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.②由题设知a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，‎ 可得a2＝λ－1.由①知，a3＝λ＋1，令‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ 跟踪训练(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎【解】　(1)证明由an＋2＝2an＋1－an＋2得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.‎ ‎ ‎ 于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.‎ 归纳等差数列的四个判定方法 ‎1．定义法证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．‎ ‎2．等差中项法证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．‎ ‎3．通项公式法得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．‎ ‎4．前n项和公式法得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．‎ 考点三 等差数列性质的应用 ‎(1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ ‎(2)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________.‎ ‎(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.‎ ‎【解析】　(1)因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以‎5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝‎2a5＝10.‎ ‎(2)∵a2＋a4＝‎2a3＝4，∴a3＝2，又a3＋a5＝‎2a4＝10，∴a4＝5，∴d＝a4－a3＝3，又a3＝a1＋2d＝2，∴a1＝－4，S10＝10×(－4)＋×3＝95.‎ ‎【答案】　(1)10　(2)95‎ ‎(3)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①‎ an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.即a1＋a18＝36，从而a9＋a10＝a1＋a18＝36.‎ 跟踪训练1．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项和是________．‎ ‎【解析】　3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝3×‎2a4＋2×‎3a10‎ ‎＝‎6a4＋‎6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴a1＋a13＝4.‎ S13＝＝26.【答案】　26‎ ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.‎ ‎【解析】　∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，∴S20－S10＝20，∴S30－S20＝2×20－10＝30，∴S30＝60.【答案】　60‎ 归纳1．本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.‎ ‎2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．‎ 考向4等差数列的前n项和 ‎●命题角度1　等差数列前n项和的最值 ‎1．(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎【解析】　∵a7＋a8＋a9＝‎3a8＞0，∴a8＞0.∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜－a8＜0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.【答案】　8‎ ‎2．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？‎ ‎【解】　法一　由S3＝S11，得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，则d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．‎ 法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．‎ 法三　由方法一可知，d＝－a1.要使Sn最大，则有即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．‎ 法四　由S3＝S11，可得‎2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．‎ ‎●命题角度2　求数列{|an|}的前n项和 ‎3．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,‎2a2＋2,‎5a3成等比数列．‎ ‎(1)求d，an；‎ ‎(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.‎ ‎【解】　(1)由题意得，a1·‎5a3＝(‎2a2＋2)2，‎ 即a1·5(a1＋2d)＝[2(a1＋d)＋2]2，整理得d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.当d＝－1时，an＝－n＋11，‎ 当d＝4时，an＝4n＋6.总上知d＝－1，an＝－n＋11(n∈N*)或d＝4，an＝4n＋6(n∈N*)．‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.令an≥0，即－n＋11≥0得n≤11，‎ 从而当n≤11时，an≥0，当n≥12时，an<0.所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；‎ 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋an)＝2S11－Sn＝n2－n＋110.‎ 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|‎ ‎＝ 归纳1．求等差数列前n项和最值的方法 ‎(1)二次函数法用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.‎ ‎(2)图象法利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．‎ ‎(3)项的符号法当a1＞0，d＜0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．‎ ‎2．求数列{|an|}前n项和的方法 ‎(1)先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项．‎ ‎(2)根据n的取值范围，分类讨论求和．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．‎ ‎4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ ‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎