福建省福州市仓山区师范大学附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省福州市仓山区师范大学附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：每小题 5 分，共 55 分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.‎ ‎1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则或 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用逆否命题的定义解答即可.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义得，‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查逆否命题定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.设，实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.‎ 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.‎ ‎3.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”（ ）‎ A. 不是互斥事件 B. 是互斥但不对立事件 C. 是对立事件 D. 以上答案都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．‎ ‎【详解】由互斥事件及对立事件的定义知，事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”是互斥但不对立事件，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，以及它们之间的关系，属于基础题．‎ ‎4.抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出抛物线的标准方程，进而可得准线方程．‎ ‎【详解】由题得标准方程为，则准线方程为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．‎ ‎5.在2013年辽宁全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若火炬手编号为，∵试验发生的基本事件总数为，其中选出的火炬手的编号相连包括，，共3种情况，∴选出的火炬手的编号相连的概率为，故选A.‎ 点睛：‎ 本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题；由题意知本题是古典概型问题，火炬手编号为，得到试验发生的基本事件总数为 ，“选出的火炬手的编号相连”包含的事件个数，作商即可.‎ ‎6.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为,与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用a，b分别表示出的离心率为和，两离心率之积为，可解得的值，再根据的方程可知双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为，即得．‎ ‎【详解】由题得的离心率，的离心率，，整理等式可得，解得，已知，则有，双曲线的焦点在x轴上，则它的渐近线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，在椭圆中满足，在双曲线中满足，不要混淆，造成计算错误．‎ ‎7.如图所示，圆O的半径为 2，现随机向圆O内投掷a粒豆子(豆子大小忽略不计），其中有b粒落在圆O的内接正十二边形内，则圆周率的近似值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知圆的半径为2，可得它的面积，再计算出圆内接正十二边形的面积，根据投掷豆子的掉落情况可得等式，直接解得圆周率近似值．‎ ‎【详解】由题，圆O半径为2，则圆的面积，内接正十二边形面积为，由向圆O内投掷a粒豆子，有b粒落在圆O的内接正十二边形内，可得，则，圆周率的近似值为，故选B.‎ ‎【点睛】本题通过圆和内接正多边形的面积关系来表示圆周率的近似值，难度不大．‎ ‎8.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10，方差是2，则xy =( )‎ A. 100 B. 102 C. 98 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由样本平均数是10，可得的值，再根据方差是2可得，将的值代入等式，即可解得．‎ ‎【详解】由题得，解得，由化简整理可得，则有，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查平均数和方差公式，属于基础题，需认真计算．‎ ‎9.双曲线的实轴长和焦距分别为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的实轴与双曲线的交点，即可得到a，实轴长为2a，再根据等轴双曲线的离心率为，可得半焦距c，进而得到焦距2c．‎ ‎【详解】由题得，双曲线的实轴为y=x，所以双曲线和实轴的交点为，则实半轴，实轴长，又因为为等轴双曲线，离心率，则c=2，2c=4，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的基本性质，注意题干要求实轴不是实半轴，求焦距不是半焦距．‎ ‎10.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则 ‎，可得：‎ ‎，当且仅当时取等号，故选C．‎ 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．‎ ‎11.已知F是椭圆C：(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，（其中为椭圆的半焦距），且则椭圆C的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】记椭圆的左焦点为F′,‎ 圆(x-)2+y2=的圆心为E,‎ 连接PF′、QE.‎ ‎∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,‎ ‎∴==,‎ ‎∴PF′∥QE,‎ ‎∴=,且PF′⊥PF.‎ 又∵|QE|=(圆的半径长),‎ ‎∴|PF′|=b.‎ 据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,‎ ‎∴|PF|=2a-b.‎ ‎∵PF′⊥PF,‎ ‎∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,‎ ‎∴b2+(2a-b)2=(2c)2,‎ ‎∴2(a2-c2)+b2=2ab,‎ ‎∴3b2=2ab,‎ ‎∴b=,c==a,=,‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ 二、多项选择题：每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。‎ ‎12.关于x,y的方程，(其中) 对应的曲线可能是( )‎ A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线 E. 圆 ‎【答案】ABCE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和的大小情况进行讨论，结合标准形式判断曲线形状即可．‎ ‎【详解】由题，若，解得，，解得或，则当时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若，解得或，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若，解得，此时曲线是焦点在x轴上的双曲线，C正确；因为时，m无实数解，所以D错误；当时，方程为，所以E正确，故选ABCE.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，分情况逐一讨论即可．‎ ‎13.如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ E. 椭圆Ⅱ比椭圆I更扁 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知的条件确定和的关系，以及和的关系，再判断正确选项．‎ ‎【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；因为，且，则，所以A正确；因为，所以B正确；因为，，则有 ‎，所以C错误；因为，所以D正确；因为，即，则椭圆I比椭圆Ⅱ更扁，所以E不错误，故选ABD.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的基本性质，找到两个椭圆的长半轴和半焦距的关系，逐一分析选项即可．‎ 三、填空题：每小题5分,共25分.‎ ‎14.若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．‎ ‎【考点】简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎（1）在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎15.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正三角形的一个顶点在原点上，根据抛物线的对称性可知，另外两个顶点关于x轴对称，设一个顶点坐标为，则有，解得，进而求出边长.‎ ‎【详解】由题得，正三角形另外两个顶点关于x轴对称，‎ 设一个顶点坐标为，边长为a，‎ 则有，解得，‎ 再由正弦定理，‎ 解得边长.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的对称性，难度不大.‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，该直线斜率的绝对值小于或等于渐进线的斜率所以，.‎ 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线的斜率.‎ ‎17.设P为抛物线上的动点，P在y轴的投影为点M，点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点，由抛物线定义可知，故，由可得所求的最小值为，计算出的值，即可得到的值，即的最小值．‎ ‎【详解】由题得焦点，准线，延长PM交准线于H点，则有，，，即求出 的最小值即可．已知点A在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知，当点P是线段FA和抛物线的交点时，可取得最小值为，由两点之间距离公式计算求得，则的最小值是．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，用定义将抛物线上点到y轴的距离转化为到焦点的距离关系，是常考题型．‎ ‎18.△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ．‎ ‎【答案】﹣=1（x＞3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．‎ 解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，‎ 则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，‎ 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣‎ ‎=1（x＞3）．‎ 故答案为﹣=1（x＞3）．‎ 考点：轨迹方程．‎ 四、解答题:5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19.已知动点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是；点M的轨迹记为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)过点F，倾斜角为的直线交曲线C于A,B两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设d为动M到直线的距离，由M到定点的距离和它到定直线的距离的比是，可得等式，设点坐标，代入等式进行化简，即得曲线C的方程．（2）设，直线AB的方程，和曲线C的方程联立，再由，可得的值．‎ ‎【详解】（1）设，d为点M到直线的距离，则，‎ 代入得，，将两边平方，并化简得，‎ 即，经检验，该方程即为曲线C的方程；‎ ‎（2）设依题意知，直线AB的方程为，‎ 由消去y得，‎ 显然判别式大于零，且 法一：；‎ 法二：，易得 从而.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，和求双曲线截得直线的弦长，运用了设而不求的方法，以及弦长公式，是常见的题型．‎ ‎20.某商店为迎接端午节，推出两款粽子：花生粽和肉粽.为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两种粽子的销售量，如下表表示（其中销售单位：个）‎ 天数 销售量 天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 花生粽 ‎103‎ ‎93‎ ‎98‎ ‎93‎ ‎106‎ ‎86‎ ‎87‎ ‎94‎ ‎91‎ ‎99‎ ‎100‎ 肉粽 ‎88‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎95‎ ‎101‎ ‎98‎ ‎103‎ ‎106‎ ‎103‎ ‎111‎ ‎100‎ ‎（1）根据两组数据完成下面茎叶图：‎ ‎（2）统计学知识，请评述哪款粽子更受欢迎；‎ ‎（3）求肉粽销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量（回归方程系数精确到0.1）‎ 参考数据：，参考公式：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）肉粽更受欢迎；（3）113个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格数据填写茎叶图；（2）由两种粽子的销量情况判断受欢迎款粽子；（3）分别根据公式求出，，，，从而确定线性回归方程，再将代入回归方程，即得销量．‎ ‎【详解】（1）根据所给数据可绘制如下茎叶图：‎ ‎（2）由茎叶图知，肉粽的销售量均值高于花生粽，两种销售量波动情况相当，所以认为肉粽更受欢迎；‎ ‎（3）.‎ ‎.所以，‎ 从而线性回归方程为 所以预估第15天肉粽的销售量为个 ‎【点睛】本题考查根据表格绘制茎叶图，求线性回归方程，以及由回归方程估计销量，是常考的题型之一．‎ ‎21.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：元/分．已知陈先生的家离上班公司 公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示 将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为分．‎ ‎（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；‎ ‎（2）若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）利用对立事件的概率公式求陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率.(2)比较每个月的费用和元的大小，即得解.‎ 详解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为 则所求的概率为 ‎ 所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为. ‎ ‎（2）每次开车所用的平均时间为 ‎ 每次租用新能源租赁汽车的平均费用为 ‎ 每个月的费用为， ‎ 因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车.‎ 点睛：本题主要考查对立事件的概率，考查平均值的计算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析能力.‎ ‎22.已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与 轴垂直的直线与椭圆交于两点，．‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设焦距，从而求解椭圆的标准方程；（2）将代入椭圆的方程，得，由，得到，再由韦达定理得到，，利用平面向量化简，列出方程，即可求解的值．‎ 试题解析：（1）设焦距为,‎ 椭圆的方程为．‎ ‎（2）将代入椭圆的方程，得, 又直线与椭圆有两个交点，所以, 解得．设,‎ 则, 若以为直径的圆过点，则,‎ 即,而, 则 ‎,‎ 解得,满足．‎ 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题．‎ ‎23.在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知点，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；‎ ‎(3)过点任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）定点，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点P的坐标，用已知点和P点坐标表示出，和，再代入等式，整理即得点P的轨迹C方程；（2）设A,B点的坐标，根据点F，可得直线L的方程，将L的方程和P的轨迹方程联立，再由公式可得△AOB的面积；（3）设点A,B的坐标为，点E的坐标为，设直线的方程为，将直线与曲线方程联立，因为直线与曲线有两个交点，则可用斜率k表示出点E，直线垂直，可知直线的斜率为，且过点D，则同理可得用k表示的F点坐标，根据点斜式可求出直线EF的方程，再根据方程特点可证．‎ ‎【详解】（1）设点P的坐标为，则，‎ 由，得，整理得点P的轨迹的方程为：‎ ‎（2）设，由得：‎ ‎，‎ ‎（3）证明：设点A,B的坐标为，则点E的坐标为.‎ 由题意可设直线的方程为，‎ 由，消去y得，‎ ‎，∵直线与抛物线交于A，B两点，‎ ‎，‎ ‎∴点E的坐标为，由题知，直线的斜率为，同理可得F的坐标为.‎ 当时，有.此时直线EF的斜率为：‎ ‎∴直线EF的方程为，‎ 整理得，恒过定点，当时，直线EF的方程为，也过点.‎ 综上所述，直线EF恒过定点 ‎【点睛】本题考查求抛物线的轨迹方程，以及用设而不求的方法计算与抛物线有交点的三角形的面积，最后一问证明直线方程过定点也用了此方法，对计算准确度要求较高，有一定的综合性．‎ ‎ ‎