2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第二章 第3讲 函数的奇偶性及周期性
第 3 讲 函数的奇偶性及周期性
一、知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 特点
偶函数
图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函
数
f(－x)＝f(x)
奇函数
图像关于原点对称的函数叫作奇函
数
f(－x)＝－f(x)
2.周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何
值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做 f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有
奇偶性的必要不充分条件．
(2)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.
(3)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝
奇．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
(2)若 f(x＋a)＝ 1
f（x），则 T＝2a(a>0)．
(3)若 f(x＋a)＝－ 1
f（x），则 T＝2a(a>0)．
二、教材衍化
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选 B.根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A 选
项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇
函数，也不是偶函数．故选 B.
2．已知函数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ (1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；
(2)忽视奇函数的对称性；
(3)忽视定义域的对称性．
1．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数 f(x)的解
析式为 f(x)＝________．
解析：设 x<0，则－x>0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由
奇函数的定义可知 f(0)＝0，所以 f(x)＝{x2＋4x－3，x > 0，
0，x＝0，
－x2＋4x＋3，x < 0.
答案：{x2＋4x－3，x > 0，
0，x＝0，
－x2＋4x＋3，x < 0
2．设奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]，若当 x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等
式 f(x)<0 的解集为________．
解析：由题图可知，当 00；当 20.综上，f(x)<0 的解集为(－2，0)∪(2，
5]．
答案：(－2，0)∪(2，5]
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是________．
解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以 a－1＋2a＝0，
所以 a＝1
3.
又 f(－x)＝f(x)，
所以 b＝0，所以 a＋b＝1
3.
答案：1
3
函数的奇偶性(多维探究)
角度一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 36－x2
|x＋3|－3；
(2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(3)f(x)＝
log2（1－x2）
|x－2|－2 ；
(4)f(x)＝{x2＋x，x < 0，
x2－x，x > 0.
【解】 (1)由 f(x)＝ 36－x2
|x＋3|－3，可知{36－x2 ≥ 0，
|x＋3|－3 ≠ 0⇒{－6 ≤ x ≤ 6，
x ≠ 0且x ≠ －6，故函数 f(x)
的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)由{1－x2 ≥ 0，
x2－1 ≥ 0 ⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且 f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由{1－x2 > 0，
|x－2|－2 ≠ 0⇒－1 0 的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函
数．
法二：定义法
易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝
x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数．
角度二 函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝－eax，若 f(ln 2)＝
8，则 a＝________．
(2)函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________．
(3)(2020·湖南永州质检)已知函数 f(x)＝x 3＋sin x＋1(x∈R)，若 f(a)＝2，则 f(－a)＝
________．
【解析】 (1)当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数 f(x)为奇函数，所以当 x>0 时，
f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以 f(ln 2)＝e－aln 2＝(1
2 )a
＝8，
所以 a＝－3.
(2)因为 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x＋1，
所以当 x<0 时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(3)设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数．又 F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝
f(－a)－1＝－1，从而 f(－a)＝0.
【答案】 (1)－3 (2)x－1 (3)0
(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于
待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
1．设函数 f(x)＝
ex－e－x
2 ，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选 D.因为 f(x)＝
ex－e－x
2 ，
则 f(－x)＝
e－x－ex
2 ＝－f(x)．
所以 f(x)是奇函数．
因为 f(|－x|)＝f(|x|)，
所以 f(|x|)是偶函数，所以 f(|x|)f(x)是奇函数．
2．(2020·贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝log 2(x＋2)－
1，则 f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选 C.根据题意得 f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
3．已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)等
于________．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即 f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即 g(1)＝3.
答案：3
函数的周期性(师生共研)
(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的
实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f(13
2 )＝( )
A．－9
4 B．－1
4
C.1
4 D．9
4
(2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝{2（1－x），0 ≤ x ≤ 1，
x－1，1 < x ≤ 2， 如果对任意的 n∈N+，定
义 fn(x)＝ ，那么 f2 016(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)因为 f(x－2)＝f(x＋2)，所以 f(x)＝f(x＋4)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函
数，所以 f(13
2 )＝f(13
2 －8)＝f(－3
2 )，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－3
2 )＝－
f(3
2 )＝－[－(3
2 )2
]＝9
4，所以 f(13
2 )＝9
4.故选 D.
(2)因为 f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以 fn(2)的值具有周期性，且周
期为 3，所以 f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选 C.
【答案】 (1)D (2)C
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且
周期为 T.
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具
体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．
1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，
则 f(2 019)＝( )
A．5 B．1
2
C．2 D．－2
解析：选 D.由 f(x)＝－f(x＋2)，得 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，
所以 f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
2．函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)．且在区间(－2，2]上，f(x)＝{cos πx
2 ，0 < x ≤ 2，
|x＋1
2 |，－2 < x ≤ 0，
则 f(f(15))的值为________．
解析：由函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数 f(x)的周期是 4，
所以 f(15)＝f(－1)＝|－1＋1
2|＝1
2，
所以 f(f(15))＝f(1
2 )＝cosπ
4＝ 2
2 .
答案： 2
2
函数性质的综合问题(多维探究)
角度一 单调性与奇偶性的综合问题
(2019·高考全国卷Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，
则( )
A．f(log31
4 )>f(2－
3
2
)>f(2－
2
3
)
B．f(log31
4 )>f(2－
2
3
)>f(2－
3
2
)
C．f(2－
3
2
)>f(2－
2
3
)>f(log31
4 )
D．f(2－
2
3
)>f(2－
3
2
)>f(log31
4 )
【解析】 根据函数 f(x)为偶函数可知，f(log3
1
4)＝f(－log34)＝f(log34)，因为 0<2－
3
2
<2－
2
3
<20f(2－
2
3
)>f(log3
1
4)．
【答案】 C
角度二 周期性与奇偶性的综合问题
(2020·福建龙岩期末)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x＋1)＝－f(x－
1)，若 f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 由 f(x＋1)＝－f(x－1)，可得 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(x＋4)＝f(x)，故函数 f(x)的
周期为 4，则 f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(－1)>1，所以 f(1)<
－1，所以 a2－2a－4<－1，解得－12
的解集为( )
A．(2，＋∞) B．(0，
1
2 )∪(2，＋∞)
C.(0，
2
2 )∪( 2，＋∞) D．( 2，＋∞)
解析：选 B.f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以 f(x)在(0，＋∞)上是
增函数，因为 f(1)＝2，所以 f(－1)＝2，所以 f(log 2x)>2⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2 x>1
或 log2x<－1⇔x>2 或 0f(2x－1)成立的 x 的取值范围是
________；
(2)若偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则 f(x－2)>0 的条件为________．
【解析】 (1)易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数．当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－
1
1＋x2，易知此时 f(x)是增加的．所以 f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得1
30⇒f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得 x<0 或 x>4.
【答案】 (1)(1
3，1 ) (2){x|x<0 或 x>4}
[基础题组练]
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递增的是( )
A．y＝1
x B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝(1
2 )|x|
解析：选 B.y＝1
x为奇函数；y＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝(1
2 )|x|
在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1 在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b(b 为常数)，则 f(－2)＝
( )
A．6 B．－6
C．4 D．－4
解析：选 A.因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b，
所以 f(0)＝1＋2b＝0，
所以 b＝－1
2.
所以 f(x)＝3x－7x－1，
所以 f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选 A.
3．已知函数 y＝f(x)，满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π
3，设 F(x)＝f(x)＋
f(－x)，则 F(3)＝( )
A.π
3 B．2π
3
C．π D．4π
3
解析：选 B.由 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－
2)，故 f(x)＝f(x＋4)，则 F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π
3 ，故选 B.
4．定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)．若 f(2)>1，f(7)＝a，则实数 a 的取值范
围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选 D.因为 f(x＋3)＝f(x)，所以 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的周期函数，所以
f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数 f(x)是偶函数，
所以 f(－2)＝f(2)，所以 f(7)＝f(2)>1，
所以 a>1，即 a∈(1，＋∞)．故选 D.
5．(2020·湖南郴州质量检测)已知 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为
增函数，则 f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.[－1，
2
3] B．[－1，
1
3]
C．[－1，1] D．[1
3，1 ]
解析：选 B.因为 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以 2b＋1－b＝0，所以 b＝－1，
因为 f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数 f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数 f(x)在(0，2]
上为减函数，则由 f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤1
3.又因为定义域为[－2，2]，所以{－2 ≤ x－1 ≤ 2，
－2 ≤ 2x ≤ 2， 解得{－1 ≤ x ≤ 3，
－1 ≤ x ≤ 1.
综上，所求不等式的解集为[－1，
1
3].故选 B.
6．若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________．
解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(－x)－f(x)＝0 恒成立，所以－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x
＋ a＋x2)＝0 恒成立，所以 xln a＝0 恒成立，所以 ln a＝0，即 a＝1.
答案：1
7．(2020·四川乐山模拟)已知函数 f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当 x≥0 时，f(x)＝2＋m
2x －
1，则 f(－1)＝____________．
解析：因为 f(－x)＋f(x)＝0，
所以 f(x)为奇函数，
又当 x≥0 时，f(x)＝2＋m
2x －1，
则 f(0)＝2＋m
1 －1＝0，所以 m＝－1.
所以当 x≥0 时，f(x)＝ 1
2x－1，
所以 f(－1)＝－f(1)＝－(1
2－1 )＝1
2.
答案：1
2
8．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)及 f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有 f(x)＝x2，
则 f(2 0191
2)＝________．
解析：函数 f(x)的定义域是 R，f(x)＝－f(－x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又 f(x)＝f(2－x)，
所以 f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以 f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数 f(x)是以 4 为周期的奇函
数，所以 f(2 0191
2)＝f(2 020－1
2)＝f(－1
2 )＝－f(1
2 ).因为在[0，1]上有 f(x)＝x 2 ，所以 f
(1
2 )＝(1
2 )2
＝1
4，故 f(2 0191
2)＝－1
4.
答案：－1
4
9．已知函数 f(x)＝{－x2＋2x，x＞0，
0，x＝0，
x2＋mx，x＜0
是奇函数．
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上递增，求实数 a 的取值范围．
解：(1)设 x＜0，则－x＞0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x＜0 时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以 m＝2.
(2)由(1)可画出 f(x)的图象，知 f(x)在[－1，1]上是增函数，要使 f(x)在[－1，a－2]上递
增．
结合 f(x)的图象知{a－2＞－1，
a－2 ≤ 1，
所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1，3]．
10．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数．
所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即 f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．
又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所
示．
设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4S △ OAB ＝4×
(1
2 × 2 × 1)＝4.
[综合题组练]
1．(2020·广东湛江一模)已知函数 g(x)＝f(2x)－x2 为奇函数，且 f(2)＝1，则 f(－2)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选 C.因为 g(x)为奇函数，且 f(2)＝1，所以 g(－1)＝－g(1)，所以 f(－2)－1＝－f(2)
＋1＝－1＋1＝0，所以 f(－2)＝1.故选 C.
2．函数 y＝f(x)在[0，2]上是增加的，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)
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