2019届二轮复习选择填空题解题策略离心率的求法学案（全国通用）

2019届二轮复习选择填空题解题策略离心率的求法学案（全国通用）

第一篇 圆锥曲线 专题05 离心率的求法 一、求离心率值的问题 求离心率的值需要构造一个含有或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。学 ‎ ‎1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。‎ 例1：如图，是椭圆和双曲线的公共焦点，若四边形 为矩形，则双曲线的离心率为____________.‎ ‎【解析】关于共焦点的问题，相等，在椭圆里面 在中满足，解得 则在双曲线中，则 例2：设椭圆的两个焦点分别是，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.‎ ‎2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的 条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。‎ 例3：已知为双曲线的左右顶点，点M在E上，为等腰三角形且顶角为，则E的离心 率为_________.‎ 上图中A,B两点不是焦点，,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。‎ ‎【解析】从M点作轴的垂线，垂足为C，因为 所以，所以点M的坐标为 代入到双曲线中得 整理得 例4：设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆E于A,B两点，，‎ 若，求椭圆E的离心率。‎ ‎【分析】题目有点像焦点弦中的关于倾斜角，离心率，比例的公式，但是不知道的余弦值，因此不 能够直接用公式，题目给出的图像是两个焦点三角形，因此考虑从第一定义入手，题目中给出了另外一个 角的余弦值，由于焦点三角形中三边中包含离心率所需的参数，结合三边长试一下余弦定理。‎ 例5：在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点 ‎，若的垂心为的焦点，则的离心率为____________.‎ 学 ‎ ‎【解析】题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A,B均不在双曲线上，因此求点坐标无用，题目双 曲线中唯一出现的与有关系的量就只有渐近线了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了 . ‎ 垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，例如，因此可采用斜率 乘积为-1来求，但是需要求出点B的坐标，点B的坐标是渐近线方程和抛物线的交点，因此联立即可：‎ ‎ ‎ 学 ‎ 例6：椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则求椭圆的离心率。‎ 总结：求解离心率的值首选第一和第二定义，因为定义直接表现出离心率，另外焦点弦中讲到过之 间的关系，，因此这个公式应特别，最重要的是要培养分析所给条件的能力。‎ 二、求离心率范围的问题 和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四种思考方向：‎ ‎1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：‎ ‎（1）焦半径的取值范围为.‎ 例7：椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在一点P，满足线段的 垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_________.‎ ‎【解析】题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质，让求的范围我们需要构造一个不等 关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和变量进行比较，很显然为定值，是焦半径 为变量，因此，所以得出不等关系 解得 例8：双曲线的两个焦点分别是，若P是其上的一点，且，则双曲线的 离心率的取值范围是________.‎ ‎【解析】（两种方法）‎ 方法一：，且，则 ‎ ‎ 因为P不确定，但是可知P不可能是右支的顶点，所以构成三角形，则，即 ‎，解得 方法二：注意到均为焦半径，点P在右支上，且 所以根据在双曲线中焦半径的取值范围可知即 解得 例9：已知椭圆的左右焦点分别是，若椭圆上存在点P，使 ‎，求该椭圆离心率的取值范围__________.‎ ‎【解析】题目中出现了，很容易想到分式里面跟角度有关的正弦定理，所以变形 一下得 因为，所以 注意为焦半径，因此 所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 ‎（2）焦点三角形顶角的取值范围：当P点处于B位置时，顶角最大，例 ‎ 例10：设P是椭圆上一点，且，其中是椭圆的两个焦点，求椭圆离心率的 取值范围_________.‎ ‎（3）焦点三角形面积的取值范围：当点P处于B位置时，焦点三角形面积最大，例：‎ 例11：过椭圆中心的直线与椭圆交于两点，右焦点为，则的最大面积为 ‎__________.‎ ‎【分析】在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点P与短轴重合时，此时面积最大 ‎【解析】注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对称的，本题目中 和是全等的，因此 故当点A位于短轴的交点处时，面积最大 ‎（4）焦点弦长的取值范围：（通径最短），在双曲线中，由于双曲线特殊的形态，有两类特别需 要注意的不等关系。‎ ‎ ①过圆心的直线与双曲线交点个数问题 当过原点的直线处于上图中区域中，此时直线与双曲线无交点；‎ 当过原点的直线处于上图中区域中，此时直线与双曲线有两个交点，但是注意在这两个区域内直线斜率的取值范围。学 ‎ ②过焦点的直线与双曲线交点个数问题 例12：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一 个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.‎ ‎【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，‎ 如果这条直线的斜率为小于等于右渐近线的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得 ‎，解不等式可求出 ‎2.从直线和圆锥曲线的位置关系或点和圆锥曲线的位置关系入手 ‎（1）点和圆锥曲线的位置关系 若能用表示出某点的坐标，则根据点在椭圆内/外，将点代入椭圆内就有相应的不等关系，而这个点一般是特殊位置点，如三心、中垂线上的点等。例：‎ 例13：已知椭圆短轴顶点，若椭圆内接三角形的重心是椭圆的一个焦点，求椭圆 离心率的取值范围__________.‎ ‎【解析】设，已知点 根据重心公式可知 所以 根据重心性质可知在线段上的中点的坐标为，因为是动点，但是点E肯定在椭圆内部，因此，化简整理得 ‎（2）直线和圆锥曲线位置关系。在开放式问题中如果问存在不存在或者求直线方程时求出多个斜率，则必 学 ‎ 定要对所求的值进行验证，若在离心率的取值范围问题中使用位置关系的判定方法，例如判别式法只能求 出某个参数的取值范围，求离心率的取值范围其实是将离心率转化为关于所求出参数的函数的取值范围，‎ 例：‎ 例14：设双曲线的渐近线与抛物线相切，求该双曲线的离心率_________.‎ ‎【解析】本题目考察直线与圆锥曲线的位置关系，题目中抛物线和渐近线相切，则联立方程组判断即 可 ‎，得，令得即 例15：设双曲线与直线相交于不同的点，求双曲线的离心率的取值范围。‎ ‎【解析】题目中b是已知的，否则题目将不能计算，因此用a表示出c，离心率转化为一个关于a的函数，‎ 接下来给定定义域求值域范围即可。‎ 所以 因为 所以 ‎3、最难的几何法，通过分析题目中的几何条件得出不等关系，例如三角形两边之和大于第三边，例如出现的钝角锐角或者出现的三角形的形状，中垂线等，这也是求离心率取值范围中最难的一种，考察队几何图形和已知条件的关联性。‎ 例16：已知分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点， 学 ‎ 若是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。‎ 例17：过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，D为虚轴上的一个端点，‎ 且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是__________.‎ ‎【解析】为双曲线的通径，可设 若中为直角时，此时点D坐标为 要保证为钝角三角形，则D点上移保证即可，解得 若中，为直角时，此时设，则 因为，则，解得 要保证为钝角三角形，则点下移至x轴之上即可，即 ‎，解得 综上，离心率的取值范围为 例18：椭圆中心在坐标原点，交点在轴上，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，且，‎ 求椭圆离心率的取值范围。‎ ‎【解析】此类问题很多教材上单独列出来一种方法，叫非负数法，关于此类问题特征较为明显，就是你很 难找出不等关系，找出来的永远都是等式关系，此时若等式中有非之外的其他参数，且参数恒为正（或 负），即可将等量关系转化为不等关系，题目不难做，注意由于过左焦点的直线斜率存在不存在未知，因此 需要讨论存在和不存在的情况，在这里我们不讨论不存在的情况，直接讨论存在的情况。‎ 因为题目中只给出了垂直关系，且两点为直线与椭圆的交点，因此考虑直线与椭圆联立，运用韦达定理。‎ 因为题目中的垂直关系，我们可以用向量或者斜率来解出不等式，过程如下：‎ 设的方程为 由于式子过于复杂，因此求出都很繁琐，观察上面的等式，能发现除了之外的参数是能够分离的，若不能分离只能求出了 所以 故 化简为 . ‎ 例19：设椭圆的左右焦点分别是，焦距为，点在椭圆的内部，‎ 点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________.‎ ‎ ‎