天津市西青区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市西青区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.‎ 第I卷1至2页，第II卷3至5页.‎ 注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.已知集合，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：首先利用一元二次不等式解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.‎ 详解：解不等式得，‎ 所以，‎ 所以可以求得，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.‎ ‎2.函数的零点所在区间　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，，，‎ 所以，根据零点存在性定理，的零点所在区间为 ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断满足条件的函数，即可求解.‎ ‎【详解】选项，不是奇函数，所以错误；‎ 选项，在实数集上是增函数，所以错误；‎ 选项，在上是增函数，所以错误；‎ 选项，是奇函数，且在上是减函数，‎ 所以正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小．‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．‎ ‎5.下列说法中，正确的个数是（ ）‎ ‎①A=的子集有个；‎ ‎②命题“”的否定是“使得”；‎ ‎③“”是“函数取得最大值”的充分不必要条件；‎ ‎④根据对数定义，对数式化为指数式；‎ ‎⑤若，则的取值范围为；‎ ‎⑥.‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据集合子集的个数，判断为假；②根据命题的否定形式，判断为真；③根据正弦函数的最值，判断为真；④根据指对数关系，判断为假；⑤根据不等式性质，可判断为假；⑥根据三角函数值的正负，判断为假.‎ ‎【详解】①A=的子集个数有，所以不正确；‎ ‎②命题“”的否定是 ‎“使得”为正确；‎ ‎③函数取得最大值时，，‎ ‎“”是“函数取得最大值”的充分不必要条件为正确；‎ ‎④根据对数定义，对数式化为指数式，所以错误；‎ ‎⑤若，则的取值范围为，‎ 所以错误；‎ ‎⑥，‎ ‎，所以错误.‎ 故选:B ‎【点睛】考查考查命题真假判定，涉及到：子集的个数、命题的否定、正弦函数的性质、指对数关系、不等式性质、三角函数值正负，属于基础题.‎ ‎6.函数是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的对称性求出，结合二次函数的单调性，即可求出结论.‎ ‎【详解】是偶函数，，‎ ‎，‎ 恒成立，，‎ ‎，的单调递增区间为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性求参数以及函数的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数求出，由周期性求出，再由求出，结合函数伸缩变换求出，即可求解.‎ ‎【详解】函数是奇函数，‎ ‎,的最小正周期为，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质以及函数图象间的变换关系，属于基础题.‎ ‎8.当时,函数的图象恒过定点，已知函数 ，若有两个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用1的对数为0，求出定点，做出的图象，转化为与有两个交点时，的取值范围.‎ ‎【详解】恒过，‎ ‎，做出图象如下图示：‎ 可得当时，与有两个交点，‎ 即有两个零点，则的取值范围为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数、函数的零点，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题 共110分）‎ 温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.已知函数，则= .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，‎ ‎10._________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式，化为锐角，再用两角和差公式转化为特殊角，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案:‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、两角和正弦公式求值，属于基础题.‎ ‎11.已知，则的最小值是_____________________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值.‎ 详解：因为，所以 所以，‎ 当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.‎ 故答案为2.‎ 点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可．‎ ‎12.已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】；；‎ ‎，，同时成立则有，‎ ‎，当时，，‎ 三个式子，，同时成立，‎ 的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎13.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为‎20米，径长（两段半径的和）为‎24米，则该扇形田的面积为______平方米．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ 扇形的半径为，故面积为（平方米），填．‎ ‎14.关于函数 (x∈R)有下列命题：‎ ‎①是以为最小正周期的周期函数；‎ ‎②可改写为；‎ ‎③的图象关于对称； ‎ ‎④ 的图象关于直线对称；‎ ‎⑤函数向右平移个单位长度所得图象的函数解析式为.‎ 其中正确的序号为_________．‎ ‎【答案】② ③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期、诱导公式、对称中心、对称轴、图像平移，逐项验证，即可得出结论.‎ ‎【详解】①是以为最小正周期的周期函数，‎ 所以不正确；‎ ‎②，‎ 所以正确；‎ ‎③，‎ 的图象关于对称，所以正确； ‎ ‎④ 由③得不正确；‎ ‎⑤函数向右平移个单位长度，‎ 所得图象的函数解析式为 所以不正确.‎ 故答案为:② ③.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数性质及图象变换间的关系，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.‎ ‎15.已知，，‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二倍角公式，求出，即可求解；‎ ‎（2）由两角和的正切公式，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎ =.. ‎ ‎=‎ ‎（2）=‎ ‎===‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系以及恒等变换求值，应用平方关系要注意角的范围，属于基础题.‎ ‎16.求关于不等式：（）的解集.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式左式因式分解，对以及两根的大小分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】a=0时，不等式变为，解得；‎ 则不等式解集为 当时，， ‎ 的根为 若a＞2，则＜1，解得x＞1或x＜‎ 若a=2，则=1，，解得 若0＜a＜2，则＞1，解得或 ‎ a＜0时，不等式变为），解得＜x＜1 ‎ 综上所述，a =0时，不等式的解集为（-∞，1）；‎ ‎0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；‎ a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；‎ a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；‎ a＜0时，不等式的解集（，1）；‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解，涉及分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎17.已知命题函数是上的减函数，命题：对都成立.若命题和命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】解：函数是上的减函数 ‎，解得：‎ 对都成立 则：，解得：，‎ 当命题成立命题不成立时：，‎ 解得：不存在 当命题成立命题不成立时，，‎ 解得：‎ 实数取值范围为： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的应用，根据条件求出命题的等价条件是解题的关键，属于中档题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数在上的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式以及降幂公式化简函数为正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）得，将所求的角转化为，结合两角和余弦公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎=‎ ‎= = ‎ 令：， ‎ 由，即 因为：在的单调递增区间为 ‎ ‎，解得 函数在上单调递增；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，利用两角和余弦公式求值，属于中档题.‎ ‎19.已知幂函数的图象过点， 函数是上的奇函数.‎ ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）判断并证明在上的单调性；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）在上单调增，见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用待定系数法求出，利用奇函数的必要条件求出，再加以验证；‎ ‎（2）按照函数单调性定义，在任取两个自变量，用作差法比较函数值大小，即可证明结论；‎ ‎（3）不等式变式为，根据函数的单调性转化为自变量的大小关系，即可求解.‎ ‎【详解】(1) 幂函数的图象过点，‎ ‎，得 在上为奇函数.‎ ‎，…‎ ‎，得 ‎，此时，‎ 所以为奇函数，即为所求；‎ ‎(2) 在上单调增 证明:任取,且 ‎ 则=‎ ‎= ‎ 因为，‎ 所以，, ‎ 即：函数在区间上是增函数. ‎ ‎(3) ，即 在上单调增 解得：‎ ‎，故不等式解集为 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意必要条件的运用，但要进行验证，考查函数的单调性证明及应用，要注意函数的定义域，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）若不等式的解集是,求此时的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数使得函数在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；‎ ‎（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；‎ ‎（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.‎ ‎【详解】解：(1)由题意得：是的根 ‎∵， 解得 ‎ ‎∴ ‎ ‎ (2)由（1）可得 ，‎ 其对称轴方程为 ‎ 若在上为增函数，则，解得 ‎ 综上可知，的取值范围为 ‎ ‎(3)当时， ‎ ‎，函数在上的最大值是15，不满足条件 ‎ 当时，假设存在满足条件的，‎ 则最大值只可能在对称轴处取得， ‎ 其中对称轴 ‎ ‎① 若，则有 ，‎ ‎ 的值不存在， ‎ ‎② 若，则，‎ 解得，此时，对称轴，‎ 则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去 ‎ ‎③ 若，‎ 则：，且， ‎ 化简得，‎ 解得或 ，满足 综上可知，当或时，‎ 函数在上的最大值是4. ‎ ‎(3)另解：当时，‎ ‎，函数在上的最大值是15，不满足条件 所以，此时的对称轴为 若，，此时 在上最大值为，‎ 解得，与假设矛盾，舍去；‎ 若 ‎①当，即，函数在为增，‎ 在上最大值为 ‎，解得，矛盾舍去 ‎②当，即，矛盾舍…‎ ‎③当.即，‎ 在上最大值为，‎ 则 ，化简得，‎ 解得或 ，满足 …‎ 综上可知，当或时，‎ 函数在上的最大值是4‎ ‎【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.‎