天津市河北区2020届高三下学期数学试题

天津市河北区2020届高三下学期数学试题

河北区2020届高三毕业年级停课不停学线上测试 数学试题 参考公式:‎ ‎﹒如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B) ‎ ‎﹒如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)·P(B)‎ ‎﹒球的表面积公式S=4πR ‎﹒球的体积公式 其中R表示球的半径 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用定义域的求法，求得集合的范围，然后求两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为 ,，所以 .故选D.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结论.‎ ‎【详解】命题“，”为全称命题，其否定为“，”.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.‎ ‎3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 将双曲线的标准方程表示为，由题意得出的值，再利用离心率公式可求出双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】将双曲线的标准方程表示为，‎ 由于该双曲线的渐近线方程为，则，‎ 因此，该双曲线的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用离心率公式计算更为便捷，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知，个位数必为偶数，其它数位没有限制，利用分步乘法计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】由于五位数偶数，则个位数必为偶数，可在、、种任选一个数，有 种选择，‎ 其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可求出正数的值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，‎ 由已知条件可得，，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，涉及两点间距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知函数,若则的大小关系是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用单调性可得结果.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以导数函数，‎ 可得在上恒成立，‎ 所以在上为增函数，‎ 又因为，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.‎ ‎7.某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式求解．‎ ‎【详解】解：∵某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，‎ ‎∴其中恰有1次通过的概率是：‎ p．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式的合理运用．‎ ‎8.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.‎ ‎【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，‎ 再向左平移后得到，‎ 因为的图象关于于对称，‎ ‎，解得，‎ 当时，，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎9.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a范围，即可．‎ ‎【详解】绘制出的图像，有3个零点，令与有三个交点，‎ 则介于1号和2号之间，2号过原点，则，1号与相切，则 ‎，，代入中，计算出，所以 a的范围为，故选A．‎ ‎【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．‎ 二、填空题：本大题共9小题，每空4分，共40分.‎ ‎10.是虚数单位，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出的值.‎ ‎【详解】，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.的展开式中，项的系数为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出展开式的通项，令的指数为，求出的值，然后代入通项即可求得项的系数.‎ ‎【详解】的展开式通项为，‎ 令，得，因此，展开式中项的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知椭圆的离心率为，焦距为，则椭圆的方程为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程.‎ ‎【详解】设椭圆的半焦距为，则，‎ 椭圆的离心率为，可得，，‎ 因此，椭圆的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆的几何性质求椭圆的方程，一般要结合题意求出、、的值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎13.某重要路段限速‎70km/h，现对通过该路段的n辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分布直方图（如图）若速度在‎60km/h～‎70km/h之间的车辆为150辆，则这n辆汽车中车速高于限速的汽车有_____辆.‎ ‎【答案】190‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率之和为列方程，解方程求得的值，进而求得的值，求得车速高于限速的汽车的频率，由此求得这n辆汽车中车速高于限速的汽车数.‎ ‎【详解】依题意，解得，所以，车速高于限速的汽车的频率为，所以这n辆汽车中车速高于限速的汽车数为辆.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图进行估计，属于基础题.‎ ‎14.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：‎ 设圆柱的底面圆半径为，则，所以轴截面的面积为，解得，‎ 因此，该圆柱的外接球的半径，‎ 所以球的表面积为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知，，且，则的最小值为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等式可得出，以及，代入可得出，利用基本不等式可求得结果.‎ ‎【详解】，，且，得，以及，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时注意对定值条件进行化简变形，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.已知矩形的对角线长为，若，则的值为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出图形，设，可知为的中点，利用和表示向量和，利用平面向量数量积的运算律即可计算出结果.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 设，，则为的中点，且为、的中点，‎ ‎，同理可得，‎ 由已知条件得，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎17.已知函数在点处的切线方程为，则、的值分别为____.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入切线方程得出，由可得出关于、的的方程组，即可解出这两个未知数的值.‎ ‎【详解】将点代入直线的方程得，‎ ‎，则，‎ 由题意得，解得.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，一般要注意两点：一是切点为函数图象与切线的公共点，二是函数在切点处的导数值等于切线的斜率，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式 ____.设，则数列的前项和____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求出数列的通项公式，再由，利用裂项求和法可求出.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，.‎ 适合，所以，对任意的，.‎ ‎，‎ 因此，.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎19.在中，角、、所对的边分别是、、.‎ ‎（I）若，，，求边的值；‎ ‎（II）若，求的值.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用余弦定理可得出关于的方程，即可解出边的值；‎ ‎（II）由正弦定理边角互化思想结合同角三角函数的基本关系可得出、的方程组，解出这两个量的值，然后利用二倍角的正、余弦公式，结合两角和的正弦公式可求得结果.‎ ‎【详解】（I）由余弦定理得，‎ 即，即，解得；‎ ‎（II），由正弦定理得，‎ ‎，，同理知，.‎ 所以，解得，‎ 由二倍角公式得，，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.‎ ‎（I）若，求证：平面；‎ ‎（II）若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长及直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II），直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）过点作，交于点，连接，通过证明四边形 为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理可得出结论；‎ ‎（II）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为求出的值，再利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（I）过点作，交于点，连接，‎ ‎，，，，‎ ‎，，所以，四边形为平行四边形，则，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（II）异面直线与成角，即，‎ ‎，，平面，‎ ‎，过点作交于点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则、、、，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，则，，则，‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 由于二面角的余弦值为，‎ 则，解得，‎ 所以，，易知平面的一个法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ 因此，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角求其它量、以及利用空间向量法求线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎ ‎