2018届二轮复习（文）　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用）

规范答题示例1　函数的单调性、极值与最值问题 典例1　(12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．‎ 审题路线图　―→―→.‎ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.‎ 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；‎ 当x∈时，f′(x)＜0.‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. 5分 所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. 6分 ‎(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；‎ 当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，‎ 最大值为f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.‎ 因此f ＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.‎ ‎9分 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.‎ 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.‎ 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．‎ 第二步 定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．‎ 第三步 写区间：利用f′(x)的符号写出函数的单调区间．‎ 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.‎ 因此，a的取值范围是(0,1).12分 评分细则　(1)函数求导正确给1分；‎ ‎(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；‎ ‎(3)求出最大值给2分；‎ ‎(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；‎ ‎(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．‎ 跟踪演练1　(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．‎ 解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，‎ f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．‎ ‎①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ ‎②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.‎ 当x∈时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ ‎(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)>0.‎ ‎②若a>0，则由(1)知，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，‎ 从而当且仅当－a2ln a≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.‎ ‎③若a<0，则由(1)知，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f ＝a2，‎ 从而当且仅当a2≥0，‎ 即时f(x)≥0.综上，a的取值范围是．‎