2018届二轮复习三、数形结合思想课件（全国通用）

2018届二轮复习三、数形结合思想课件（全国通用）

三、数形结合思想 思想解读 思想解读 应用类型 　　数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题; 利用数形结合思想解不等式或参数范围; 利用数形结合思想解决解析几何问题. 总纲目录 应用一   利用数形结合思想解决方程的根或函数零 点问题 应用二 利用数形结合思想求解不等式或参数范围 应用三 利用数形结合思想解决解析几何问题 应用一   利用数形结合思想解决方程的根或函数零点 问题 例1　设函数 f ( x )=|2 x -1|,函数 g ( x )= f ( f ( x ))-log a ( x +1)( a >0, a ≠ 1)在[0,1]上有 3个不同的零点,则实数 a 的取值范围为   (　　) A.   　    B.(1,2) C.   　    D.(2,+ ∞ ) 答案     C 解析 　因为 f ( x )=|2 x -1|=   所以 f ( f ( x ))=|2|2 x -1|-1|=   四个选项中都有 a >1,分别画出 y = f ( f ( x ))与 y =log a ( x +1)的图象,如图. 因为 y =log a ( x +1)的图象是由 y =log a x 的图象向左平移一个单位得到的,且 过点(0,0), 当 x =1时, y = f ( f (1))=1, 由log a (1+1)=1得 a =2,此时, y = f ( f ( x ))与 y =log a ( x +1)的图象有4个交点, 当 x =   时, y = f   =1, 由log a   =1得 a =   , 此时, y = f ( f ( x ))与 y =log a ( x +1)的图象有2个交点,综上所述, a 的取值范围为   . 【 技法点评 】 　用图象法讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根 式、三角等复杂方程 ) 的解 ( 或函数零点 ) 的个数是一种重要的方法 , 其基 本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟 悉时 , 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ), 然后在同一坐标系中作 出这两个函数的图象 , 图象的交点个数即为方程解 ( 或函数零点 ) 的个数 . 跟踪集训 1.已知直线(1- m ) x +(3 m +1) y -4=0所过定点恰好落在函数 f ( x )=   的图象上,若函数 h ( x )= f ( x )- mx +2有三个不同的零点,则实 数 m 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.(1,+ ∞ ) 答案     B　由(1- m ) x +(3 m +1) y -4=0得 x + y -4- m ( x -3 y )=0,∴由   可 得直线过定点(3,1),∴log a 3=1,∴ a =3.令 f ( x )- mx +2=0,得 f ( x )= mx -2,在同一 坐标系中作出 y 1 = f ( x )与 y 2 = mx -2的图象,易得当   < m <1时满足题意,故 选B.   2.函数 f ( x )=3 - x + x 2 -4的零点个数是 　　　     . 答案 　2 解析 　求函数 f ( x )=3 - x + x 2 -4的零点个数,即为求函数 g ( x )= x 2 -4与 h ( x )=-   的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函数 g ( x ), h ( x )的图象如图所示, 由图可知, h ( x )与 g ( x )的图象有2个交点,故函数 f ( x )的零点个数为2. 应用二    利用数形结合思想求解不等式或参数范围 例2 　设 f ( x ), g ( x )分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 x <0时, f '( x ) g ( x ) + f ( x ) g '( x )>0,且 g (-3)=0,则不等式 f ( x ) g ( x )<0的解集是 　　　     . 答案 　(- ∞ ,-3) ∪ (0,3) 解析 　设 F ( x )= f ( x ) g ( x ),因为 f ( x ), g ( x )分别是定义在R上的奇函数和偶函 数,所以 F (- x )= f (- x )· g (- x )=- f ( x ) g ( x )=- F ( x ),即 F ( x )在R上为奇函数. 当 x <0时, F '( x )= f '( x ) g ( x )+ f ( x ) g '( x )>0, 所以当 x <0时, F ( x )为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同, 所以当 x >0时, F ( x )也是增函数,且 F (-3)= f (-3) g (-3)=0=- F (3), 则 F ( x )的大致图象如图所示,由图可知 F ( x )<0的解集是(- ∞ ,-3) ∪ (0,3). 【技法点评】 　求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据 不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个函数图象的 上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避免烦琐的运算,获 得简捷的解答. 跟踪集训 1.若不等式| x -2 a | ≥   x + a -1对 x ∈R恒成立,则 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　作出 y =| x -2 a |和 y =   x + a -1的简图.依题意可知2 a ≤ 2-2 a ,故 a ≤   .   2.若不等式   ≤ k ( x +2)-   的解集为区间[ a , b ],且 b - a =2,则 k = 　　          . 答案        解析      y = k ( x +2)-   过定点(-2,-   ),显然当 k <0时不符合题意,故 k >0,分 别作出直线 y = k ( x +2)-   与半圆 y =   ,如图.由题意知直线在半圆的 上方,由 b - a =2,可知 b =3, a =1,所以直线 y = k ( x +2)-   过点(1,2   ),则 k =   .   应用三    利用数形结合思想解决解析几何问题 例3　 设双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左、右顶点分别为 A 1 , A 2 ,左、右 焦点分别为 F 1 , F 2 ,以 F 1 F 2 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P .若以 A 1 A 2 为直径的圆与直线 PF 2 相切,则双曲线 C 的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.2　    D.   答案     D 解析 　如图所示,设以 A 1 A 2 为直径的圆与直线 PF 2 的切点为 Q ,连接 OQ ,则 OQ ⊥ PF 2 ,又 PF 1 ⊥ PF 2 , O 为 F 1 F 2 的中点,所以| PF 1 |=2| OQ |=2 a ,又| PF 2 |-| PF 1 | =2 a ,所以| PF 2 |=4 a ,在Rt△ F 1 PF 2 中,| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 =| F 1 F 2 | 2 ⇒ 4 a 2 +16 a 2 =20 a 2 =4 c 2 ⇒ e =   =   . 【技法点评】 　根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟悉常见的代数形式,主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二元一次式—— 可考虑直线的截距;③含根式的分式——可考虑点到直线的距离;④根 式——可考虑两点间的距离. 跟踪集训 　已知抛物线的方程为 x 2 =8 y , F 是其焦点,点 A (-2,4),在此抛物线上求一 点 P ,使△ APF 的周长最小,此时点 P 的坐标为 　　　     . 答案        解析 　因为(-2) 2 <8 × 4,所以点 A (-2,4)在抛物线 x 2 =8 y 的内部,如图,设抛物 线的准线为 l , 过点 P 作 PQ ⊥ l 于点 Q , 过点 A 作 AB ⊥ l 于点 B , 连接 AQ , 则△ APF 的周长为 | PF |+| PA |+| AF |=| PQ |+| PA |+| AF | ≥ | AQ |+| AF | ≥ | AB |+| AF |, 当且仅当 P , B , A 三点共线时 ,△ APF 的周长取得最小值 , 即 | AB |+| AF |. 因为 A (-2,4), 所以不妨设△ APF 的周长最小时 , 点 P 的坐标为 (-2, y 0 ), 代入 x 2 =8 y ,得 y 0 =   , 故使△ APF 的周长最小的点 P 的坐标为   .