【数学】2020届天津一轮复习通用版2-8函数模型及函数的综合应用作业
2.8 函数模型及函数的综合应用
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.函数的模型及实际应用
了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义
2014湖南,8
实际应用问题中的函数思想
★★★
2.函数的综合应用问题
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题
2016天津文,14
函数的综合应用问题
函数与方程
★★★
2013天津文,8
指数函数与对数函数
2013天津,8
函数的单调性
分析解读 为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:
1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.
2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.
破考点
【考点集训】
考点一 函数的模型及实际应用
1.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsinπ6x+φa,b为常数,0<φ<π2.其中三个月份的月平均气温如下表:
x
5
8
11
y
13
31
13
则该地2月份的月平均气温约为 ℃,φ= .
答案 -5;π6
考点二 函数的综合应用问题
2.动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是( )
答案 D
3.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )
A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8
答案 D
4.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
5.单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为f(n),则f(3)= .
下面是关于f(n)的描述:
①f(n)=n2sin2πn;
②f(n)的最大值为π;
③f(n)
1.设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )
A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1]
答案 B
4.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1, x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
答案 13,23
5.(2012天津,14,5分)已知函数y=|x2-1|x-1的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
答案 (0,1)∪(1,2)
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 函数的模型及实际应用
1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12 C.pq D.(p+1)(q+1)-1
答案 D
2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则x+y+z=100,5x+3y+13z=100,当z=81时,x= ,y= .
答案 8;11
考点二 函数的综合应用问题
1.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
2.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是g(x)=4-x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是 .
答案 (210,+∞)
C组 教师专用题组
考点一 函数的模型及实际应用
(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).
将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.
(2)①由(1)知,y=1 000x2(5≤x≤20),则点P的坐标为t,1 000t2,
设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-2 000x3,
则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.
故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4×106t4,t∈[5,20].
②设g(t)=t2+4×106t4,则g'(t)=2t-16×106t5.
令g'(t)=0,解得t=102.
当t∈(5,102)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
当t∈(102,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;
从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.
∴当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.
评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.
考点二 函数的综合应用问题
1.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=x+4x-a+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 .
答案 -∞,92
2.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.
(1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;
(2)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
答案 (1)x (2)x
3.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
答案 ①③④
4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(2)(i)求F(x)的最小值m(a);
(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
解析 (1)由于a≥3,故
当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,
当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).
所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].
(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则
f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,
所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即
m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2.
(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4.
思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.
评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.
【三年模拟】
选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017天津和平一模,8)已知函数f(x)=|x2+2x-3|,x<2,-x2-2x+13,x≥2,若关于x的方程f(x)-m=0恰有五个不相等的实数解,则m的取值范围是( )
A.[0,4] B.(0,4) C.(4,5) D.(0,5)
答案 B
2.(2019届天津耀华中学第一次月考,8)已知函数f(x)=ln x+(a-2)x-2a+4(a>0),若有且只有两个整数x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)>0,则a的取值范围是( )
A.(ln 3,2) B.[2-ln 3,2) C.(0,2-ln 3] D.(0,2-ln 3)
答案 C
3.(2018天津九校联考,8)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时, f(x)=log2(x+1),x∈[0,1),|x-3|-1,x∈[1,+∞),则函数F(x)=f(x)-a(00,-x2-2x+1,x≤0,若存在互不相等的实数a,b,c,d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m.则以下三个结论:
①m∈[1,2);
②a+b+c+d∈[e-3+e-1-2,e-4-1),其中e为自然对数的底数;
③关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解.
正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
5.(2017天津十二区县二模,8)已知函数f(x)=2x-1(0≤x≤1),f(x-1)+m(x>1)在定义域[0,+∞)上单调递增,且对于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一个实数解,则函数g(x)=f(x)-x在区间[0,2n](n∈N*)上所有零点的和为( )
A.n(n+1)2 B.22n-1+2n-1 C.(1+2n)22 D.2n-1
答案 B
6.(2017天津和平四模,8)已知函数f(x)=14x+1,x≤1,lnx,x>1,当方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根时,实数a的取值范围是( )
A.0,1e B.14,1e C.0,14 D.14,e
答案 B
7.(2018天津静海一中模拟,8)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时, f(x)=x3,函数g(x)=|logax|,x>0,-1x,x<0,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6,+∞)上有6个零点,则实数a的取值范围是( )
A.0,17∪(7,+∞) B.19,17∪[7,9) C.19,17∪(7,9] D.19,1∪(1,9]
答案 C
8.(2018天津红桥二模,8)已知定义在[-1,+∞)上的函数在区间[-1,3)上的解析式为f(x)=1-x2(-1≤x<1),32-32|x-2|(1≤x<3),当x≥3时,函数满足f(x)=f(x-4)+1,若函数g(x)=f(x)-kx-k有5个零点,则实数k为( )
A.514 B.15 C.13 D.512
答案 D