【数学】2019届一轮复习人教A版（文）命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）命题及其关系、充分条件与必要条件学案

‎1．2　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[知识梳理]‎ ‎1．命题 ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.‎ ‎(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；‎ ‎③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提．‎ ‎3．充要条件 ‎(1)集合与充要条件 ‎(2)充分条件与必要条件的两个特征 ‎①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．‎ ‎②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”．(　　)‎ ‎(3)若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. (　　)‎ ‎(4)“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A1－1P6练习)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)‎ A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 答案　C 解析　若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C.‎ ‎(2)(选修A1－1P12A组T3)x2－3x＋2≠0是x≠1的________条件．‎ 答案　充分不必要 解析　若x2－3x＋2≠0则x≠1且x≠2，此时充分性成立，‎ 当x＝2时，满足x≠1，但此时x2－3x＋2＝0成立，即必要性不成立，‎ 即x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　解法一：∵数列{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，‎ ‎∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.‎ 若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，‎ 即S4＋S6>2S5.‎ 若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，‎ ‎∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．‎ 故选C.‎ 解法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.‎ ‎(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题，又当x2－8x＋15＝0时，x＝3或5.‎ 故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．故选B.‎ 题型1　四种命题的关系及真假判断 　　已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞‎ ‎)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m>1, 则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断．‎ 答案　D 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．故选D.‎ 　(2018·黄梅期末)给出下列命题：‎ ‎①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；‎ ‎②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；‎ ‎③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；‎ ‎④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．‎ 其中真命题的序号为________．‎ 分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断．‎ 答案　①②③‎ 解析　①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，是真命题；‎ ‎②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；‎ ‎③命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，∴它的逆否命题也是真命题；‎ ‎④命题“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题是“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”‎ 是假命题，‎ ‎∵不等式的解集为R时，的解集为∅，∴逆命题是假命题；‎ ‎∴真命题有①②③.‎ 方法技巧 四种命题关系及真假判断的方法 ‎1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．例如典例2.‎ ‎2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．‎ ‎3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．例如冲关针对训练2.‎ 冲关针对训练 ‎1．(2018·陕西模拟)原命题为“若 1， 2互为共轭复数，则| 1|＝| 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 答案　B 解析　先证原命题为真：当 1， 2互为共轭复数时，设 1＝a＋bi(a，b∈R)，则 2＝a－bi，则| 1|＝| 2|＝，∴原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：取 1＝1， 2＝i，满足| 1|＝| 2|，但是 1， 2不互为共轭复数，∴‎ 逆命题为假，故否命题也为假．故选B.‎ ‎2．(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号)．‎ ‎①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；‎ ‎③命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 答案　①②‎ 解析　对于①，命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于③，命题“若A∩B＝B，则A⊆B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②.‎ 题型2　充分条件与必要条件的判定 角度1　利用定义判断充分、必要条件 　　(2018·赣中南五校联考)已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sinα>sinβ的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 利用定义结合代特殊值法进行判断．‎ 答案　D 解析　由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋，β＝，有α>β，但sinα＝sinβ，即α>β不是sinα>sinβ的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝，β＝2π＋，有sinα>sinβ成立，但α<β，即α>β不是sinα>sinβ的必要条件，综上所述，α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件．故选D.‎ 角度2　等价转化法判断充分、必要条件 　　(2018·阳山模拟)“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 用等价转化法．‎ 答案　A 解析　由题意得：‎ ‎∵命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”与命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”互为逆否命题．‎ ‎∴判断命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”的真假只要判断命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”的真假即可．‎ 因为命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”显然是假命题．‎ 所以命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题，‎ ‎∴a≠1或b≠2推不出a＋b≠3.‎ 同理“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，‎ ‎∴命题“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题．‎ ‎∴a＋b≠3⇒a≠1或b≠2.‎ ‎∴“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选A.‎ 角度3　集合法判断充分、必要条件 　　(2017·天津高考)设θ∈R，则“＜”是“sinθ＜”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 集合法．‎ 答案　A 解析　∵＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔θ∈， ∈ ，‎ ， ∈ ，‎ ‎∴“<”是“sinθ<”的充分而不必要条件．故选A.‎ 角度4　探求结论成立的充分、必要条件 　　(2018·延安质检)函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)‎ A．a<0 B．01‎ 用数形结合法，集合法．‎ 答案　A 解析　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.‎ 观察选项，根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}．故选A.‎ 方法技巧 充分条件和必要条件的三种判断方法 ‎1．定义法：可按照以下三个步骤进行 ‎(1)确定条件p是什么，结论q是什么；‎ ‎(2)尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；‎ ‎(3)确定条件p和结论q的关系．见角度1典例．‎ ‎2．等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．见角度2典例．‎ ‎3．集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．见角度3典例．‎ 冲关针对训练 ‎1．(2018·石家庄模拟)命题p：|x|<1，命题q：x2＋x－6<0，则綈p是綈q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由|x|<1得－11}，綈q所对应的集合为∁RB＝{x|xa＋1}．‎ 由綈p是綈q的必要不充分条件，知∁RB∁RA，所以解得0≤a≤.‎ 故所求实数a的取值范围是.‎ ‎[条件探究]　将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，则a的取值范围是什么？‎ 解　设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，‎ 解|4x－3|≤1，得≤x≤1，故A＝{x；‎ 解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，故B＝{x|a≤x≤a＋1}．‎ 由p是q的充分不必要条件，知AB，‎ 所以解得0≤a≤.‎ 故所求实数a的取值范围是.‎ 方法技巧 根据充要条件求解参数范围的常用方法 充分、必要条件的应用，一般体现在参数范围的求解上，其常用方法和注意事项为：‎ ‎1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．见典例．‎ ‎2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ 冲关针对训练 已知p：|x－a|<4；q：(x－2)(3－x)>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．‎ 答案　[－1,6]‎ 解析　∵綈p是綈q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件．‎ 对于p，|x－a|<4，∴a－40)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．‎ 答案　[9，＋∞)‎ 解析　解法一：由≤2，得－2≤x≤10，‎ ‎∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，‎ 设A＝{x|x>10或x<－2}．‎ 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，‎ ‎∴綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，‎ 设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．‎ ‎∵綈p是綈q的必要而不充分的条件，∴BA，‎ ‎∴且不能同时取得等号．‎ 解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．‎ 解法二：∵綈p是綈q必要而不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要而不充分条件，‎ 即p是q的充分而不必要条件，‎ 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，‎ 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，‎ 又由≤2，得－2≤x≤10，‎ ‎∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设N＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的充分而不必要条件知NM，‎ ‎∴且不能同时取等号，解得m≥9.‎ ‎∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．‎ ‎[基础送分提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．下列命题中是真命题的是(　　)‎ ‎①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题；‎ ‎③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．‎ A．①② B．①③‎ C．②③ D．①②③‎ 答案　B 解析　对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.‎ ‎2．(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)‎ A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c 答案　A 解析　否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.‎ ‎3．(2018·曲阜模拟)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a>1，所以綈p成立⇔a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.‎ ‎4．下列命题正确的是(　　)‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分必要条件 C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”‎ D．命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0‎ 答案　D 解析　若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，那么p∧q可能为真，也可能为假，故A错误；若a>0，b>0，则＋≥2，又当a<0，b<0时，也有＋≥2，所以“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，故C错误，由此可知D正确．故选D.‎ ‎5．(2018·广东广州质检)已知p：∃x>0，ex－ax<1成立，q：函数f(x)＝－(a－1)x在R上是减函数，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若∃x>0，ex－ax<1成立，则∃x>0，使得ex1；若函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，则a－1>1，则a>2，则q：a>2.故由q可以推出p，由p推不出q，故p是q的必要不充分条件．故选B.‎ ‎6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.‎ ‎7．(2017·衡水联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sinx－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sinx＋＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；‎ 反之，当f(x)＝sinx－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，‎ 又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sinx－＋a＝2a，故a＝0，‎ 所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的充要条件．故选C.‎ ‎8．(2018·天津模拟)已知f(x)＝2x＋3(x∈R)，若|f(x)－1|0)，则a，b之间的关系是(　　)‎ A．b≥ B．b< C．a≤ D．a> 答案　A 解析　∵f(x)＝2x＋3，且|f(x)－1|0)，‎ ‎∴⊆(－b－1，b－1)．‎ ‎∴ 解得b≥.故选A.‎ ‎9．(2018·江西一联)已知i为虚数单位，a为实数，复数 ＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>0”是“点M在第四象限”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　复数 ＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2－2ai＋i＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M(a＋2,1－2a)．若a>0，则a＋2>0，但1－2a的正负不确定，所以点M是否在第四象限也是不确定的；若点M在第四象限，则解得a>，此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎10．(2017·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0－1}，‎ B＝{x|(x－a)(x－b)<0}＝(－3，b)或(b，－3)，‎ 由“A∩B≠∅”，得b>－1，故b的取值范围为(－1，＋∞)．‎ ‎12．已知条件p：x∈A，且A＝{x|a－10时，A＝{x|a0时，有解得1m；s(x)：x2＋mx＋1>0.如果∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，－2]∪[－，2)‎ 解析　由sinx＋cosx＝sin，‎ 得sinx＋cosx的最小值为－.‎ 若∀x∈R时，命题r(x)为真命题，则m<－.若命题s(x)为真命题，即∀x∈R，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，则Δ＝m2－4<0，解得－21时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a；‎ 当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a或a<－.‎