2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（ 江苏专用）

专题6：三角恒等变换与解三角形(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知α∈，sin α＝，则sin＝___________ ，cos＝_____‎ 答案：－，－.‎ 解析：因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α＝‎ ×＋×＝－.‎ 又sin 2α＝2sinαcosα＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝‎ ×＋×＝－.‎ ‎ (2)已知cos(＋x)＝， ＜x＜，则＝ ．‎ 答案：－ 解析：原式＝＝2sinxcosx＝sin2x＝－cos(＋2x)＝－cos2(＋x)＝1－2cos2(＋x) ＝1－2×()2＝－ ‎ (3) ＝ ．‎ 答案：2‎ ‎ (4)已知tan(＋a)＝－．则＝ ．‎ 答案：－ 解析：tan(＋α)＝－，展开得，∴tanα＝－3‎ sin2α－2cos2α ‎1－tanα ‎＝·＝·＝－ ‎2． (1)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．‎ 答案：1‎ 解析： 由＝，得sin B＝＝1，‎ 即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形，‎ 则AB＝＝＝1，即AB等于1.‎ ‎ (2)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________．‎ 答案：2　　‎ 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2；cos A＝＝＝，∴sin A＝＝.‎ ‎ (3) 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD， AD＝10， AB＝14， ‎ ÐBDA＝60°， ÐBCD＝135° ，则BC＝ .‎ 答案：8 ‎3．(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰或直角三角形 ‎ (2) 在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰三角形 解析：sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC 所以 sinBcosC－cosBsinC＝0 sin(B－C)＝0 所以B＝C 三角形为等腰三角形 二、方法联想 ‎1．三角变换基本想法 ‎ (1)角：观察角的联系，实现角的统一．‎ ‎ (2)名：弦切互化，异名化同名．‎ ‎ 形：公式变形与逆用．‎ 幂：平方降幂，根式升幂．‎ 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．‎ 注意 判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．‎ 变式1、在中, ,则 . ‎ 答案：‎ ‎(利用三角函数值缩小角的范围)‎ 变式2、已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________.‎ 答案： ‎（用已知角表示要求的角）‎ ‎2．三角形中边角计算 方法 正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理．‎ 变式1、在锐角三角形中,角的对边分别为,若,则的值是 . ‎ 答案：‎ ‎(把握正、余弦定理的结构特征)‎ 变式2、在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC,则cosA＝______‎ 答案：－ 解析:设BC边上的高为AD，则BC＝3AD,所以，AC＝AD，AB＝AD，根据余弦定理，求出cosA ‎（平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量）‎ ‎3．边角转化、角角转化 方法 关于含有边角的关系式，利用(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或(2)cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边．‎ 方法 角角转化，即利用A＋B＋C＝π消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角．‎ 变式1、若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______.‎ 答案：‎ ‎(边角转化)‎ 变式2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋ 求cosC的最小值.‎ 答案： 解析：切化弦后，化简得2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，从而2sinC＝sinA＋sinB，∴a＋b＝2c 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 cosC的最小值为.‎ ‎（利用正弦定理实现边角转化；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数）.‎ 三、例题分析 ‎[第三层次]‎ 例1、已知α，β(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－ ．‎ ‎（1）求cos2α的值；‎ ‎（2）求2α－β的值．‎ 解 （1）cos2α＝－． ‎ ‎（2） 2α－β＝－． ‎ 解析：cos2α＝cos2α－sin2α＝＝， 因为tanα＝2，所以cos2α＝－．‎ ‎（2）因为α∈（0，π），且tanα＝2，所以α∈(0，) 又cos2α＝－，∴2α∈(，π)，sin2α＝ ， 因为β∈（0，π），cosβ＝－． 所以sinβ＝，β∈(，π)， 所以sin（2α－β）＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝－ 又2α－β∈(－，)， ∴2α－β＝－．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 问题1、cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα 问题2、由于cos2α＝cos2α－sin2α， 这可以化为tanα的齐次式．‎ 方法选择与优化建议：[来源:Z.xx.k.Com]‎ 对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα时要注意判断它们的符号．‎ 对于问题2，cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝，处理起来更加便捷．‎ ‎（2)主要问题归类与方法： ‎ 求角的问题 求角就需要选择一个关于2α－β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求．另外，2α－β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数．‎ 方法选择与优化建议：‎ 通过推理，我们得到2α－β(－，)，所以可以选择计算sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－β)的值，但不宜选择计算cos(2α－β)，因为在(－，)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的． ‎ 例2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)( a－b＋c)＝ac.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(错误！未找到引用源。)若sinAsinC＝，求C．‎ 解 (1)B＝120°. ‎ ‎(2)C＝15°或45°.‎ 解析：（1）∵（a＋b＋c）（a－b＋c）＝（a＋c）2－b2＝ac， ∴a2＋c2－b2＝－ac， ∴cosB＝＝－， 又B为三角形的内角，则B＝120°； （2）由（I）得：A＋C＝60°，∵，cos（A＋C）＝， ∴cos（A－C）＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos（A＋C）＋‎ ‎2sinAsinC＝ ‎∴A－C＝30°或A－C＝－30°， 则C＝15°或C＝45°．‎ 点评：求角一般要先求值，即求出该角的某一个三角函数值，但求哪一个三角值，要根据条件选择；由值求角，要注意角的取值范围，有时会有多个角．‎ ‎〖教学建议〗‎ （1) 主要问题归类与方法： ‎ 在三角形中求角的大小 通常①利用正弦定理，利用已知的两边一对角，求另外一个对角；②是利用余弦定理，已知三条边求任意一个角．‎ 方法选择与优化建议：‎ 条件(a＋b＋c)( a－b＋c)＝ac可化为a＋c－b＝－ac，所以选择方法②余弦定理可以直接得到角B的大小．‎ ‎（2)主要问题归类与方法： ‎ 在三角形中求角的大小 ① 由第一问，我们已经得到了B＝120°，所以A＋C＝60°，A＝60°－C，代入到条件中去，求解关于角C的方程，利求得角C的某个三角函数值；‎ ② 从cos(A＋C)＝cos60°＝，以及sinAsinC＝，可以求得cos(A－C)，进而得到角C的大小．‎ 方法选择与优化建议：‎ 方法①代入后化归为sin(2C＋30°)＝，这个解法虽然比较麻烦，但是多数学生会采取这个方法，它符合学生的正常思维．‎ 方法②解法简洁，但是学生不太容易想到计算cos(A－C)的值．‎ 方法①值得学生选择并掌握．‎ 例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的大小．‎ 解 (1) ＝2. (2) b＝2.‎ 解析：（1）边化角得到cosAsinB－2sinBcosC＝2sinCcosB－cosBsinA 所以sin（A＋B）＝2sin（B＋C），即sinC＝2sinA 所以＝2 （‎ ‎2）由（1）可知c＝2a…① a＋b＋c＝5…② b2＝a2＋c2﹣2accosB…③ cosB＝…④ 解①②③④可得a＝1，b＝c＝2； 所以b＝2‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 边角互化问题 ‎ ‎①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．‎ 方法选择与优化建议：‎ ‎1、对于等式＝的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC＝2sinA；‎ ‎2、利用cosA＝等将等式的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．‎ ‎3、等式可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC＋ccosB),即c＝2a, ，所以可以选择方法③．‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ 求边长 ①利用正弦定理求边； ② 利用余弦定理求边．‎ 方法选择与优化建议：‎ 因为从第一问已经可以得到c＝2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．‎ 例4 已知函数f(x)＝2 cos2x＋2sinx cosx．‎ ‎（1）求函数f(x)在[－，]上的值域；‎ ‎（2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值．‎ 解 （1）函数f(x)在[－，]上的值域为[0，3]． （2） tanA＝．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 将已知函数转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，使此函数变为 只含有一个三角名称的一次三角函数．‎ 方法选择与优化建议：‎ 平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．‎ ‎（2）主要问题归类与方法： ‎ 三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等变形 方法选择与优化建议：‎ 本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A；利用第第二个条件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化为只有一个未知量角A的方程解决．‎ 例5 已知△ABC的面积为S，且·＝S．‎ ‎（1）求tan2A的值； ‎ ‎（2）若B＝，|－|＝3，求△ABC的面积S．‎ 解 （1）.‎ ‎(2) 3．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 向量的数量积表示有两种方法，①是数量积的定义，②是数量积的坐标表示．‎ 方法选择与优化建议：‎ 本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法①．‎ ‎（2）主要问题归类与方法： ‎ 求三角形的面积问题 计算三角形的面积需要三个条件，①已知两条边一夹角；②已知三条边；③已知一条边以及此边上的高等等．‎ 方法选择与优化建议：‎ 已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法①的运算量较小．‎ 四、反馈练习 ‎1．（1）已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为_______.‎ 答案：3‎ 解析：‎ ‎（2）若α∈(0，)，且cosα＋sin(＋2α)＝，则tanα＝ .‎ 答案：1‎ 解析：由题意得，cosα＋cosα－sinα＝，则＝，上下同除cosα ‎（3）如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.‎ 答案：－ 解析：韦达定理得，tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3‎ ＝上下同除cosαcosβ，则原式＝ ‎（4）若tanα＝3，则的值为 ‎ 答案：6[来源:学|科|网]‎ ‎（5）已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．‎ 答案：－ 解析：sinα＋2cosα＝ 两边平方可得： ∴sin²α＋4cos²α＋4sinαcosα＝ ∴＝ 左边分子分母同除以cos²α可得： ＝ 化简可得： 3tan²α－8tanα－3＝0 解得： tanα＝－或 3 tan2α＝ 当tanα＝－时,tan2α＝－ 当tanα＝ 3时,tan2α＝－ 综上：tan2α＝－ ‎（6）已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为________．‎ 答案： 解析：因为a·b＝，所以cos2α＋sinα（2sinα－1）＝ 所以sinα＝，因为α∈(，π)，所以cosα＝－，tanα＝－ 所以tan(α＋)＝ ‎（7）已知cos(－α)＝，则sin(α－)－cos(＋α)的值为_______．‎ 答案：．‎ 说明：熟练运用两角和与差的三角公式，二倍角公式进行化简与求值．在恒等变形时，追求已知角和未知角、一般角和特殊角的沟通．‎ ‎2．（1）在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝2:3:4，则cosC＝ ．‎ 答案：－ ‎（2）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于________．‎ 答案： ‎（3）在△ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是________三角形．‎ 答案：等腰或直角[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎（4）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3 ，b－c＝2,cosA＝－， 则a的值为 .‎ 答案：‎ 解析：因为，所以，‎ 又，解方程组得，由余弦定理得 ‎，所以.‎ ‎（5）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝ ．‎ 答案:‎ 解析：求出sinB＝,再根据正弦定理求出b.‎ ‎（6）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，则B为______.‎ 答案：135°‎ 解析：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，‎ 所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝， ‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎（7）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cos C，则＋＝________.‎ 答案：4‎ ‎（8）在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，则AD的长为____________.‎ 答案：‎ 解析：如图，‎ ‎ ‎ ‎ 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又由正弦定理得.‎ ‎ 由题设知，所以.‎ ‎ 在中，由正弦定理得.‎ 说明：在三角形中，如果知道两角及一边或两边及一边的对角，用正弦定理；如果知道两边及夹角或三边，用余弦定理．如果在同一个式子中，既有角又有边，常运用正、余弦定理进行边与角的互换，实现单一化，以利于解题．‎ ‎3．若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.‎ 答案：－ 说明：化未知角为已知角，角的变换要熟练掌握．‎ ‎4.在△ABC中，a＋c＝b＋ac.‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）求cosA＋cosC 的最大值.‎ 答案:（1）；（2）.‎ 解析：（1）由余弦定理及题设得，‎ 又∵，∴；（2）由（1）知，‎ ‎，因为，所以当时，取得最大值.‎ 考点：‎ ‎1.三角恒等变形；2.余弦定理。正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．‎ ‎5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 答案　100 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在 Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100.‎ ‎6. 在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.‎ 答案 8‎ 解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，‎ 由已知，sinA＝2sinBsinC，‎ ‎∴sin(B＋C)＝2sinBsinC，‎ ‎∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，‎ A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得，‎ tanB＋tanC＝2tanBtanC.‎ 又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.‎ ‎∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.‎ 则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，‎ ‎∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋‎ ‎2tanBtanC≥2，‎ ‎∴≥2，‎ ‎∴tanAtanBtanC≥8.‎ ‎7. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c ‎ ‎（I）求C；‎ ‎（II）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 答案:（I）（II）‎ 解析: (1)边化角后，得到2cosCsin(A+B)＝sinC，则cosC＝，所以C＝ ‎（II）由已知,．‎ 又,所以．‎ 由已知及余弦定理得,．‎ 故,从而．‎ 所以的周长为．‎ 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”‎ ‎8、如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．‎ ‎（1）若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；‎ ‎（2）设∠CEF＝θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且∠DEF＝，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．‎ 解：（1）依题意得，，‎ 在△中，， ∴ ， ‎ 在△中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎∴ . ‎ 答：甲乙两人之间的距离为m. ‎ ‎（2）由题意得，，‎ 在直角三角形中，， ‎ 在△中，由正弦定理得，即，‎ ‎∴ ，， ‎ 所以当时，有最小值. ‎ 答：甲乙之间的最小距离为. ‎ 说明：考查利用正弦定理、余弦定理等知识解决实际应用问题． ‎ ‎9．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC.‎ ‎(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；‎ ‎(2)求四边形ABCD面积的最大值．‎ 解　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.‎ 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C.‎ 因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A.‎ 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A．解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．(考查角的变换,余弦定理).‎ ‎(2)四边形ABCD的面积S＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]＝x(7－x) ＝＝.‎ 记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．‎ 由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)‎ ‎＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4.‎ 函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.‎ 所以S的最大值为＝6.(考查角的变换,导数求最值).‎ 答：所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2.‎ ‎10. (2016江苏)在中，. ‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ 解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 ‎（2）在三角形ABC中，所以 于是 又，故 因为，所以[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 因此 ‎(考查正弦定理，两角和与差公式).‎ ‎ ‎