2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（理）试题（Word版）

山西省临汾第一中学等五校2017-2018学年高二上学期期末联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知数列满足，且，则（ ）‎ A． B．11 C．12 D．23‎ ‎4．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．下列命题中的假命题是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数为奇函数 ‎ C． ‎ D．，直线与圆都相交 ‎6．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，角的对边分别为，若，，且，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎8．如图，在四棱锥中，，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（ ）‎ A． B．9 C． D．10‎ ‎11．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．幂函数的图象经过点，则 .‎ ‎14．目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为 .‎ ‎15．直线：与抛物线切于点，与轴的交点为，且为原点，则 . ‎ ‎16．已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知：在区间上是减函数；‎ ‎：不等式无解，如果“”为假，“”为真，求的取值范围.‎ ‎18．如图，在直三棱柱，已知，,，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19．已知抛物线：的焦点为，原点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程；（2）当直线的倾斜角为多大时，的长度最小. ‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，且底面与侧面垂直，，，分别为线段的中点，，，，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，，且与圆心为的定圆 相切.直线：（）与圆交于两点，.求面积的最大值.‎ ‎22．设函数，.‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求的取值范围； ‎ ‎（2）设，点是曲线与的一个交点，且这两曲线在点处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数满足题意，且.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：DCBBC 6-10：ACBBA 11-12：DB 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：若为真，即在区间上是减函数，只需要 对称轴，即 若为真，即不等式无解，只需要即，‎ 解得 因为“”为假，“”为真，，所以一真一假 若真假，则，得或；‎ 若真假，则，得.‎ 综上，的取值范围是或.‎ ‎18.解：（1）因为四边形是矩形，‎ 所以 又因为，所以平面 因为，所以平面，‎ 又，所以平面，从而.‎ ‎（2）分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 因为，所以，又，‎ 故 设为平面的法向量，则，即 取，解得 ‎∴为平面的一个法向量 显然，为平面的一个法向量 则.‎ 据图可知，二面角的余弦值为.‎ ‎19．（1）准线与轴的交点为，则由几何性质得，，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴为等边三角形，得，‎ 所以抛物线方程为.‎ ‎（2）∵，∴直线的方程为，‎ 由得，‎ 设，则，得，‎ 所以,当且仅当等号成立 ‎∴.‎ ‎20．证明：（1）因为，分别为线段的中点，，‎ 所以，，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面,‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，，，‎ 设为平面的法向量，则，即 故可取 设与平面所成角为，则，‎ 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21．解：（1）因为经过点，所以，‎ 又椭圆的离心率为，所以 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设设，的方程为 由，得，‎ 所以 因为，‎ 所以 整理得，‎ 所以到的距离为，‎ 所以直线恒与定圆相切，即圆的方程为 又到的距离为，所以，且，所以，‎ 因为到的距离为，‎ 所以 ‎，当且仅当即时取“=”‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎22.解：（1）由题意，所以 由题意，，即对恒成立 又当时，，所以 ‎（2）证明：因为，‎ 所以，即①‎ 又点是曲线与的一个交点，所以②‎ 由①②消去，得.‎ ‎（i）当时，因为，所以，且，此与②矛盾.‎ 所以在上没有适合题意.‎ ‎（ii）当时，设 则，即函数在上单调递增，‎ 所以函数在上至多有一个零点 因为 且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点 即只有唯一的，使得成立，且.‎ 综上所述，存在唯一的实数满足题意，且.‎