北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题

北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题

‎2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（　　）‎ A． B．（0，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）‎ ‎4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（　　）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 ‎5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）‎ A．12 B．‎36 ‎C．72 D．720‎ ‎7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2 ‎ C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4‎ ‎8．已知正项等比数列{an}中，a‎1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（　　）‎ A．729 B．‎332 ‎C．181 D．96‎ ‎9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（　　）‎ A．10天 B．15天 C．19天 D．2天 ‎10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）‎ A．8 B．‎7 ‎C．6 D．5‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分．‎ ‎11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝　 　．‎ ‎12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝　 　．‎ ‎13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为　 　．‎ ‎14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是　 　．‎ ‎15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．‎ 给出下列四种说法：‎ ‎①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；‎ ‎②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；‎ ‎③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；‎ ‎④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．‎ 其中，正确的说法是　 　．（填写所有正确说法的编号）‎ 三、解答题 ‎16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值；‎ ‎17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．‎ ‎18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：‎ 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；‎ ‎（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞‎ ‎）上存在极小值．‎ ‎20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．‎ ‎（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．‎ ‎21．各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：‎ ‎①a1＝m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因数（n≥1）．‎ ‎（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{an}的前五项；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n≥3时，an为常数，求m的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．‎ 参考答案 一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．‎ 解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，‎ 集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．‎ 故选：C．‎ ‎2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【分析】利用复数模长的性质即可求解．‎ 解：∵复数z＝，‎ ‎∴＝＝，‎ 故选：A．‎ ‎3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（　　）‎ A． B．（0，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）‎ ‎【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．‎ 解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，‎ ‎∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），‎ 故选：B．‎ ‎4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（　　）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 ‎【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．‎ 解：∵x＜0，‎ ‎∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，‎ ‎∴f（x）有最大值，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．‎ 故选：A．‎ ‎5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，‎ 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，‎ 即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）‎ A．12 B．‎36 ‎C．72 D．720‎ ‎【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．‎ 解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，‎ 再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，‎ 则有36×2＝72种不同的坐法；‎ 故选：C．‎ ‎7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2 ‎ C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4‎ ‎【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．‎ 解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），‎ ‎∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，‎ ‎∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，‎ 即：⇒a＝1，‎ ‎∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，‎ 圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．‎ 故选：A．‎ ‎8．已知正项等比数列{an}中，a‎1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（　　）‎ A．729 B．‎332 ‎C．181 D．96‎ ‎【分析】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．‎ 解：正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，‎ 由a‎1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①‎ a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②‎ ‎①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），‎ 则a10＝a5q5＝3×32＝96．‎ 故选：D．‎ ‎9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（　　）‎ A．10天 B．15天 C．19天 D．2天 ‎【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．‎ 解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），‎ 根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，‎ 故选：C．‎ ‎10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）‎ A．8 B．‎7 ‎C．6 D．5‎ ‎【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．‎ 解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），‎ 则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，‎ 因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），‎ 所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．‎ 故选：C．‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分．‎ ‎11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝　　．‎ ‎【分析】利用向量平行的条件直接求解．‎ 解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，‎ ‎∴λ+＝t（+2）＝，‎ ‎∴，解得实数λ＝．‎ 故答案为：．‎ ‎12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝　1　．‎ ‎【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．‎ 解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），‎ ‎∴tan（α+）＝＝﹣，故α+ 为第二象限角．‎ ‎∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为　　．‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．‎ 解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，‎ 长方体的棱长为：2，1，2，‎ 四棱锥的体积为：×1×2×2＝．‎ 故答案为：．‎ ‎14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是　x2＝8y或y2＝x　．‎ ‎【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．‎ 解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．‎ 若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，‎ 则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；‎ 若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，‎ 则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．‎ ‎∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．‎ 故答案为：x2＝8y或y2＝x．‎ ‎15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．‎ 给出下列四种说法：‎ ‎①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；‎ ‎②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；‎ ‎③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；‎ ‎④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．‎ 其中，正确的说法是　②③　．（填写所有正确说法的编号）‎ ‎【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．‎ 解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，‎ 故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；‎ 故选：②③．‎ 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值；‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值．‎ 解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，‎ O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．‎ ‎∴A1O⊥DE，‎ ‎∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，‎ ‎∴A1O⊥平面BCDE，‎ ‎∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．‎ ‎（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，‎ 以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），‎ ‎＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），‎ 设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），‎ 则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），‎ 设直线A‎1C和平面A1BD所成角为θ，‎ 则直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值为：‎ sinθ＝＝＝．‎ ‎17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】取①，由余弦定理可得cosB＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；‎ 取②acosB＝bsinA，由正弦定理可得：tanB＝1，B∈（0，π），解得B，可得sinC＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；‎ 取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；‎ 解：（1）若选择①，‎ 由余弦定理，……………‎ 因为B∈（0，π），所以；……………………‎ 由正弦定理，得，……………‎ 因为，，所以，……………‎ 所以………‎ 所以．……………‎ ‎（2）若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA，……………‎ 因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，……………‎ 因为B∈（0，π），所以；……………‎ 由正弦定理，得，……………‎ 因为，，所以，……………‎ 所以，…‎ 所以．……………‎ ‎（3）若选择③，‎ 则，所以，……………‎ 因为B∈（0，π），所以，‎ 所以，所以；……………‎ 由正弦定理，得，……………‎ 因为，，所以，……………‎ 所以，………‎ ‎18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：‎ 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；‎ ‎（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．‎ ‎（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．‎ 解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：‎ ‎＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，‎ 众数为33．‎ ‎（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则 当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，‎ ‎∴X的可能取值为136，147，154，189，203，‎ P（X＝136）＝，‎ P（X＝147）＝，‎ P（X＝154）＝，‎ P（X＝189）＝，‎ P（X＝203）＝，‎ X的分布列为：‎ X ‎136‎ ‎147‎ ‎154‎ ‎189‎ ‎203‎ P ‎＝．‎ ‎（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：‎ 甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，‎ 乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a在x＞0时递增，求出a的范围即可；‎ ‎（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．‎ 解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：‎ f′（x）＝，（x＞0），‎ 由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，‎ ‎∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，‎ 即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，‎ ‎∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，‎ ‎∴a的范围是（﹣∞，0）；‎ ‎（2）由f′（x）＝，（x＞0），‎ 得：a≥0时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）递增；‎ a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，‎ 故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；‎ ‎（3）由g（x）＝及题设得：‎ g′（x）＝＝，‎ 由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，‎ 由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，‎ ‎∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，‎ f（e）＝﹣＞0，‎ ‎∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，‎ 即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞x0，‎ 令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，‎ 故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，‎ ‎∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．‎ ‎20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．‎ ‎（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．‎ ‎【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；‎ ‎（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．‎ 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．‎ 解：（Ⅰ）∵椭圆C：，‎ ‎∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，‎ ‎∴焦点F（2，0），离心率．‎ ‎（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，‎ ‎∴m＝﹣2k，‎ ‎∴l：y＝k（x﹣2）．‎ 由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．‎ 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则，．‎ ‎∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．‎ ‎∴直线P'Q的方程可以设为，‎ 令y＝0，‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝＝3．‎ ‎∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．‎ ‎21．各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：‎ ‎①a1＝m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因数（n≥1）．‎ ‎（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{an}的前五项；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n≥3时，an为常数，求m的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{an}的前五项；‎ ‎（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；‎ ‎（Ⅲ）令Sn＝a1+a2+…+an，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明an为常数．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{an}的前五项分别为：5，1，0，2，2．‎ ‎（Ⅱ）解：∵0≤an≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，‎ 又数列{an}的前3项互不相等，‎ ‎（1）当a2＝0时，‎ 若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝…＝1，‎ 且对n≥3，都为整数，∴m＝2；‎ 若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝…＝2，‎ 且对n≥3，都为整数，∴m＝4；‎ ‎（2）当a2＝1时，‎ 若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝…＝0，‎ 且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；‎ 若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝…＝2，‎ 且对n≥3，都为整数，∴m＝3；‎ 综上，m的值为2，3，4．‎ ‎（Ⅲ）证明：对于n≥1，令Sn＝a1+a2+…+an，‎ 则．‎ 又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．‎ 故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．‎ 当时，则．‎ 从而．‎ 由题设知，又及an+1均为整数，‎ ‎∴＝an+1＝，故＝常数．‎ 从而＝常数．‎ 故存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．‎